談垂直化與水平化在數學教學中的應用

☉河北省唐山市路南區教育局中學教研室 李姝俠

談垂直化與水平化在數學教學中的應用

☉河北省唐山市路南區教育局中學教研室 李姝俠

水平數學化是指由現實問題到數學問題的轉化，是把情景問題表述為數學問題的過程，亦指數學問題的水平發展．垂直數學化是從符號到概念的轉化或用符號解決數學問題，亦指數學問題的梯度發展，類似演繹推理．本文擬舉例來談談垂直化與水平化在數學教學中的應用．

一、新課導入時應用垂直化與水平化

講解《有理數乘法》時有以下兩種課堂導入：

例1（水平化實例）如圖1，一只蝸牛沿直線l爬行，它現在恰好在l上的點O（規定向右為正）．

圖1

（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？

（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分鐘前它在什么位置？

（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘前它在什么位置？

例2（垂直化實例）

分析：以上兩種不同的導入，不難看出，水平化實例比較符合七年級學生的認知特點且垂直化實例不能正確表述類似（-2）×（-4）=8這個實例．顯然，水平化的導入為課程順利進行做好了積極的鋪墊．

講解《扇形的面積》時有以下兩種課堂引入：

（水平化引入方法）問題情境：制造圓弧型彎曲管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料．這段展直長度實際就是圓弧的弧長．怎樣計算這段圓的弧長呢？這就是本節課要學的內容．

點評：對身陷局中的年輕人而言，他們關心的是一份穩定的工作；無良公司盯住的，卻是上萬元的貸款，以及可供驅使的人頭。每個人一兩萬元錢，對年輕人而言，可能是很久才能攢夠的積蓄，而對無良企業而言，則是不當謀利的工具。

提出問題：大家還記得圓周長的計算公式嗎？圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長？

課堂追問：1°的圓心角所對的弧長是多少？n°的圓心角所對的弧長是多少？

（垂直化引入方法）問題思考：設圓的半徑為R，（1）圓的周長公式是什么？（2）圓的周長可以看成是多少度的圓心角所對的弧？（3）1°的圓心角所對的弧長是多少？（4）n°的圓心角所對的弧長是多少？

可以看出以上兩種課堂導入的方法都比較簡潔明了，兩者的區別在于前面的一段話，可是實際效果截然不同，此例較好地反應出恰當運用水平化的引入，能激發學生的學習興趣．但是如果不能找到這樣很貼切的實例，單刀直入也不失為上策．

比如：一元二次方程的講解：由于前面學習一元二次方程的概念時已經從實例做了引入，再講用公式法解方程時就沒有必要使用水平法引入，可以直接使用垂直法引入．

二、試題講解時應用垂直化與水平化

教師講解角平分線的應用時曾出現如下兩個題目：

例3（水平化實例）已知三條公路如圖2所示，現欲建一加油站，保證到三條公路的距離相等，那么可建的加油站的位置有幾個？

答案：4個.

例4（垂直化實例）已知△ABC，求作一個點O，使點O到三角形三邊的距離相等，這樣的點有幾個？若將三角形三邊改為三條直線，那么這樣的點有幾個？

答案：1個；4個．

分析：對于例3，學生的第一印象是符合條件的點只有一個，也可以說這是幾何教學中學生易錯點之一．例4則有效地將試題進行分解即化綜合為基本，然后將試題進行還原，不僅減少了學生出錯的概率而且也能對同類試題起到畫龍點睛的作用.

圖2

而通常很多時候教師講解試題時使用較多的是垂直化.

例5 如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，且AE=AD.連接DE交AC于點H，連接BH.

求證：（1）EH=DH，AH⊥DE；

（2）△CDE為等邊三角形；

圖3

這樣的例題采用垂直化方法效果會更好.此題還可以繼續引導學生深入研究，這對于開闊學生知識視野、引發學生理性的數學思考大有益處.

三、課堂提問時應用垂直化與水平化

例6（水平化發展）教師提問：兩圓的位置關系是什么？

答案：外離、外切、相交、內切、內含.

例7（垂直化發展）如果兩圓的半徑分別為2和4，當兩圓的圓心距為0.5，4，8，2，6時，位置關系如何？請結合數軸（如圖4）說明問題.

答案：d=0.5時，內含；d=4時，相交；d=8時，外離；d=2時，內切；d=6時，外切.

圖4

分析：眾所周知，數學知識的反饋主要以符號語言為主，圖形語言幫助學生理解記憶，文字語言可以作為一個簡要的補充.當然，垂直化的提問不僅可以使學生理解知識更加透徹，也體現了數學中常用的數形結合思想，同時也可以將學生的思維引入更深一層的思考.筆者理解，對于學生剛剛接觸到的知識，可以采用水平化提問，隨著知識學習的不斷深入以及對知識掌握的面越來越寬，適時采用垂直化提問，能夠集中學生的注意力，引發學生思考、產生學習動機、激發學習興趣、建立知識聯系、明確教學目標，使學生進入活躍的求知狀態，為進一步學習打好堅實的基礎.

四、作業布置時應用垂直化與水平化

精新選擇的作業布置無疑是一堂好課的有力補充.教師對于作業的布置也時常呈現大眾作業與精英作業，以下兩題正是呈現不同作業的實例.

例8 （水平化發展）如圖5，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半徑為5，則AB、CD之間的距離時多少？

圖5

答案：1.

例9 （垂直化發展）已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半徑為5，則AB、CD之間的距離時多少？

答案：（需要畫出圖形（如圖6），分類討論）1或7.

圖6

分析：兩道作業的區別就在于有圖與無圖的區別，但兩字之差卻將水平發展與垂直發展充分體現，這也正是教育學生仔細審題、努力提高的關鍵所在.此題也真正體現了由于圖形不確定而導致的分類討論，所以也符合數學細、精、準的特點.我們倡導“以人為本”的教育理念，就是承認差異，張揚個性，提高素質.所以對于作業的布置要進行科學性、針對性、可行性的選擇和分層，使學生逐步建立學習信心，讓不同層次的學生都能感覺到數學學習的容易和有趣.

自己在數學課堂上進行的水平化和垂直化嘗試，實際就是“因材施教”和“因才施教”的進一步體現.達爾文曾說過：“世界上沒有兩片完全相同的葉子.”生命體之間的各個方面都存在著差異，同樣作為生命個體的學生，也毫不例外地存在著差異.要做到“因才施教”，首要任務是對學生要有全面深刻的了解，對學生的智力因素、學習習慣、基礎知識等方面都要了如指掌，進而實行區別對待的教學方式.因此教學時，教師應該以學困生“吃得了”、優秀生“吃得飽”為原則，積極創造條件讓優秀生脫穎而出的同時，兼顧每一個個體.要做到“因材施教”，就要精通教材、精通課標；放眼未來，使自己站在更高的高度審視教學，把每種教學方法發揮到極致.

總之，無論是水平化還是垂直化，在數學教學中都有非常適宜的發展空間，也可以說，數學水平化與垂直化的有效運用，必是促成高效教學的重要因素，促成教與學的實質性提升.