井田問題的探究

☉廣州大學計算機教育軟件研究所 曹路路 朱華偉

井田問題的探究

☉廣州大學計算機教育軟件研究所 曹路路 朱華偉

圖1

圖2

這就是著名的井田問題，該結論對任意凸四邊形都成立，文獻［1］中給出了詳細的證明.關于凸四邊形分劃問題，文獻［2］中將凸四邊形的每條邊三等分推廣到每條邊n等分，考慮中間位置上的四邊形，可得類似的結論.

命題1 如圖2所示，設凸四邊形ABCD的面積為S，將它的每條邊都n等分，分點分別是R1，R2，…，Rn－1；Q1，Q2，…，Qn－1；T1，T2，…，Tn－1和P1，P2，…，Pn－1.則由PmQm，Pm+kQm+k，RmTm和Rm+kTm+k圍成的四邊形A′B′C′D′的面積為·S，其中m=n－（m+k）.

上面的結論都是針對中間位置上的四邊形，那么位于凸四邊形頂點處的四個小四邊形，文獻［3］給出了以下結論：

命題2 如圖3所示，設ABCD是凸四邊形，把AB和CD m等分，并用線段連接相應的分點；把BC和DA n等分，也用線段連接相應的分點.由此得到n×m個小四邊形，標記如圖所示.記圖中c1的面積為S11，c2的面積為S12，…，cm的面積為S1m；d1的面積為Sn1，d2的面積為Sn2，…，dm的面積為Snm，則S11+Snm=S1m+Sn1.

圖4

圖3

在以上命題的證明過程中都用到了下面這個結論，本文的后面也將會用到它，即：

本文通過對這些結論及其證明方法進行研究，得到一些有趣的結論.

文獻［4］證明了：如果一組直線將凸四邊形一組對邊等分，那么用這些直線分此凸四邊形為多個小四邊形，它們的面積構成等差數列.

下面我們把這個結論推廣到兩組對邊都n等分的情況：

命題4 如圖5所示，將凸四邊形ABCD的每條邊都n（n≥3）等分，并連接每組對邊上相應的分點.連接得到的線段將四邊形ABCD分割成n2個小四邊形，那么同行（列）的n個小四邊形的面積成等差數列，并且每行（列）的公差相等；位于對角線上的n個小四邊形的面積也成等差數列.

證明：如圖5所示，設Sij表示小四邊形的面積，其中i，j均是正整數，且1≤i，j≤n.

首先，根據命題3可得這些連線的交點是它所在線段的n等分點.那么，根據文獻［4］中的結論，即證同行（列）的n個小四邊形的面積成等差數列.

其次，證明位于對角線上的n個小四邊形的面積成等差數列.

設S11，S12，…，S1n的公差為d1；S11，S21，…，Sn1的公差為d2.

運用命題2，得：

從而證明S11，S22，…，Snn是以S11為首項，d1+d2為公差的等差數列.

最后，證明每行（列）的公差相等.

設第i行的n個小四邊形的面積Si1，Si2，…，Sin構成等差數列的公差為di，其中i=2，3，…，n.

圖5

即證行之間的公差相等.

同理可證列之間的公差也相等.證畢.

評注：在圖5中，根據命題4可知，任意給定三個不同行且不同列的小四邊形的面積，即可求出其余每塊小四邊形的面積.

下面運用命題4，我們給出1980年環球城市數學競賽初中組春季賽第四題的另一種簡捷的證明.

證明：設Sij表示小四邊形的面積，其中i，j都是正整數，且1≤i，j≤m，即證：

其中i1，i2，…，im是1，2，…，m的一個排列.

根據命題4，設每列小四邊形的面積構成以d為公差的數列，則：

證畢.

接下來我們不再考慮對凸四邊形的邊等分的情況，但是在滿足一定的比例關系時，依然可得到與井田問題想類似的結論，即

圖6

則SA′B′C′D′=（1－2α）（1－2β）SABCD.

證明：首先證明SEFGH=（1－2α）·SABCD.

如圖6所示，連接AH，AC，FH，FC.

其次，運用命題3，得：

在命題6的條件下，除四邊形A′B′C′D′外的八個小四邊形的面積之間有如下關系：

命題7 如圖7所示，在命題6的條件下，設四邊形ABCD的面積為S，小四邊形的面積用Sij表示，其中i，j均是正整數，且1≤i，j≤3，S22=SA′B′C′D′.則：

所以（1）式成立，同理可證（2）式成立.

故（3）式成立.證畢.

評注：給定四邊形ABCD的面積，將除A′B′C′D′外的八個四邊形分為三組：（S12，S32），（S21，S23），（S11，S13，S31，S33）. 根據上面的三個公式，若每組中確定一個四邊形的面積，則可求其余五個四邊形的面積.特別的，如果α=β，那么只需知道四邊形ABCD一個頂點處的小四邊形及其相鄰的一個小四邊形的面積，就可以求出其余六個四邊形的面積.

圖7

1.張景中.新概念幾何［M］.北京：中國少年兒童出版社，2012.

2.錢照平.中位四邊形面積定理的推廣［J］.中學數學教學，1993，4.

3.中國數學奧林匹克委員會.環球城市數學競賽問題與解答［M］.北京：開明出版社，2004.

4.鄧遠源.關于凸四邊形的一個分劃問題［J］.中學數學月刊，2000，6.

5.付真凱.中位四邊形的面積定理［J］.數學通報，1992，9.

6.趙振威.中學數學方法指導［M］.北京：科學出版社，1988.