等腰三角形中的漏解、多解和錯解

☉山東省萊西市第四中學 崔明月

等腰三角形中的漏解、多解和錯解

☉山東省萊西市第四中學 崔明月

等腰三角形中關于邊角求解的分類討論問題，一直是令同學們頭疼的一個問題，有時忘記分類討論，導致漏解；有時得出兩個答案，又因沒有檢驗是否滿足三角形內(nèi)角和定理和三邊關系，導致多解．下面我們舉例分析這類問題，看其有何規(guī)律．

一、關于等腰三角形角度的求解

例1 若等腰三角形有一個角是70°，則其他兩個角的度數(shù)是_______．

答案：55°和55°；40°和70°

例2 若等腰三角形有一個角是120°，則其他兩個角的度數(shù)是_______．

答案：30°

例3 若等腰三角形有一個角是60°，則其他兩個角的度數(shù)是_______．

答案：60°和60°

規(guī)律總結：已知等腰三角形一個角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理可以求出其他兩角的度數(shù)，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個解？當?shù)妊切我粋€內(nèi)角為鈍角（如例2）或直角或60°的角（如例3）的時候，求其余各角只有一個解；當?shù)妊切蔚囊粋€內(nèi)角為銳角且這個銳角（如例1）不等于60°時，求其余各角有兩解．

二、關于等腰三角形邊的求解問題

例4 等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則它的周長為________．

答案：17cm

例5 等腰三角形的周長是16，若其中一邊長是5，那么另外兩邊長分別是________．

答案：6、5或5.5、5.5

規(guī)律總結：已知等腰三角形的兩邊（沒有指明底和腰時）求其另一邊或其周長，可根據(jù)等腰三角形的定義求得，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個解？根據(jù)三角形三邊的關系，檢驗求得的兩組結果是否滿足“兩腰之和大于底邊”，來判斷解的情況．（如例4中，三邊可為3cm、3cm、7cm或7cm、7cm、3cm，但是“3cm、3cm、7cm”不滿足三邊關系，所以答案是一個解；例5的兩個結果滿足三角形的三邊關系，所以是兩組解）．

下面我們看看這兩條規(guī)律在運用中出現(xiàn)的問題.

1.漏解

例6 已知等腰三角形的兩邊長分別為4和6，則該等腰三角形的周長為__________.

錯解：該等腰三角形的周長為16.

剖析：由于題目中并沒有明確4和6誰是底邊長、誰是腰長，所以應分以下兩種情形考慮.

⑴當?shù)走呴L為6、腰長為4時，該等腰三角形的周長為14.⑵當?shù)走呴L為4、腰長為6時，該等腰三角形的周長為16.同學們只想到了情形⑵，因而導致漏解.正解：該等腰三角形的周長為14或16.例7 等腰三角形的一個角是80°，則它的另兩個角是__________.

錯解：它的另兩個角分別為50°、50°.

剖析：因為題中并未指明80°的角是頂角還是底角，所以應分以下兩種情況全面分析.

（1）當80°的角是頂角時，該等腰三角形的底角是50°.

（2）當80°的角是底角時，該等腰三角形的另兩個角中，一個角是底角，度數(shù)為80°，另一個角是頂角，其度數(shù)為180°-80°×2=20°.

正解：該等腰三角形的另兩個角分別為50°、50°或80°、20°.

2.多解

例8 已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則該等腰三角形的周長為____________.

錯解：該等腰三角形的周長為12或15.

剖析：（1）當該等腰三角形的腰長為6、底邊長為3時，其周長為15.

（2）當該等腰三角形的腰長為3、底邊長為6時，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，可知周長為12這種情形是不存在的，因此這里的“12”是多余的.

正解：該等腰三角形的周長為15.

例9 已知等腰三角形ABC的一個外角是80°，則與它不相鄰的一個內(nèi)角的度數(shù)是______.

錯解：與它不相鄰的一個內(nèi)角的度數(shù)是40°或100°.

剖析：“等腰三角形ABC的一個外角是80°”中的外角只能是與頂角相鄰的外角，不可能是與底角相鄰的外角.若它是與底角相鄰的外角，則兩底角都應是100°，這就會使得△ABC的內(nèi)角和大于180°，這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，因此這里的“100°”是多余的解.

3.錯解

例10 由等腰三角形ABC的頂點A引腰BC邊上的高AD，其長恰好等于腰BC長的一半，試求∠BAC的度數(shù).

錯解：如圖1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.

所以∠B=∠BAD=45°，∠C=∠CAD=45°，所以∠BAC=90°.

剖析：錯解誤將“頂點A”當作“頂角A”，因此而出錯.這就要求我們在解題時必須認真讀題，深入審題，正確地理解題意.由于題中已指明BC為腰，所以這里的頂角應是∠B或∠C.

圖1

圖2

圖3

正解：不妨設∠C為頂角.

（1）當高AD在三角形內(nèi)部時（如圖2）.

（2）當高AD在三角形外部時（如圖3）.

注意：對于此題，如果只考慮高AD在三角形內(nèi)部的情況，則會出現(xiàn)漏解的錯誤.

通過上面的例子可以看出，在解決等腰三角形的邊、角計算問題時，我們一定要認真分析題目中已知的邊和角，分清是哪兩個角相等，哪兩條邊相等，并注意是一解還是兩解，防止多解、漏解、錯解.