三角板穿插引出的一則面積最值問題

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)沙埠中學(xué) 趙曉華

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)高橋中學(xué) 蔡歷亮

三角板穿插引出的一則面積最值問題

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)沙埠中學(xué) 趙曉華

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)高橋中學(xué) 蔡歷亮

三角板是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不可或缺的工具，通過操作三角板，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的、有意義的數(shù)學(xué)問題.如：多付三角板拼多邊形，用三角板進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換.而比較新穎的是利用三角板進(jìn)行穿插，三角板中間都挖有圓孔或三角孔，如果用其中一塊三角板去穿插另一塊三角板，那會形成怎么有趣的數(shù)學(xué)問題呢？

圖1

圖2

今有一副三角板（如圖1），中間各有一個(gè)直徑為2cm的圓洞，現(xiàn)用三角板a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內(nèi)（如圖2），求三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積（不計(jì)三角板的厚度）.

這是由三角板穿插引出的面積最值問題，本題難度較大，分析難度成因，主要有兩點(diǎn)：

（1）“三角形a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內(nèi)”需要較強(qiáng)的空間想象能力，問題抽象，學(xué)生不易理解，難以確定何時(shí)面積最大.

（2）即便知道穿插成何種位置時(shí)面積最大，計(jì)算相應(yīng)面積也很困難.

筆者與學(xué)生進(jìn)行交流、研究，發(fā)現(xiàn)本題的解答方法較多，現(xiàn)歸納3種解法供讀者參考.

先將本問題轉(zhuǎn)化為“解三角形”.已知：如圖3，△ABC中，BC=2，∠A=30°，求△ABC面積的最大值.

解法一：

（1）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，△ABC的形狀不可能為鈍角三角形.否則，不妨設(shè)∠ACB＞90°（如圖4）.過B作BD⊥AC于D，延長CD到C1，使C1D=CD，則△ABC1中，BC1=2，∠A=30°，S△ABC1＞S△ABC，與△ABC面積最大矛盾.

圖4

圖5

（2）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，△ABC是∠A為頂角的等腰三角形.

證明：如圖5，設(shè)△ABC面積最大時(shí)，AB=xcm、AC=ycm，過B作BD⊥AC于D.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°.

當(dāng)x=y時(shí)，S△ABC的面積最大，此時(shí)△ABC是等腰三角形，且∠A為頂角.

（3）當(dāng)△ABC是∠A為頂角的等腰三角形時(shí)，

答：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法二：

圖6

圖7

（1）△ABC中，讓BC=2cm位置固定不動，變換∠A的位置，保證∠A=30°不變，即點(diǎn)A在以BC為弦，所含圓周角等于30°的兩段弧（不含端點(diǎn)B、C）上運(yùn)動（如圖6）.易知，當(dāng)A是在圓弧中點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)△ABC是等腰三角形，∠A是頂角.

（2）當(dāng)△ABC是∠A為頂角的等腰三角形時(shí)，過B作BD⊥AC于D（如圖7），設(shè)AB=2xcm.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°.

圖8

答：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法三：

（1）由解法2第（1）問知：當(dāng)△ABC是頂角為∠A的等腰三角形時(shí)，△ABC的面積最大.

（2）當(dāng)△ABC是頂角為∠A的等腰三角形時(shí)，過A作AD⊥BC于D（如圖8）.

當(dāng)D沿DA方向運(yùn)動時(shí)（運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)停止），BD會不斷變大，AD會不斷變小，則在線段AD上存在一點(diǎn)E，使D運(yùn)動到E時(shí)，BD=AD，即在線段AD上存在一點(diǎn)E，使BE=AE.

答：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法二的第（1）部分的證明方法，對于∠A的度數(shù)并沒有限制，因此可對本題結(jié)論進(jìn)行推廣得到如下結(jié)論：如果已知一個(gè)三角形的一角θ及該角的對邊，那么當(dāng)該三角形是頂角為θ的等腰三角形時(shí)面積最大.