基于“四基”和“四能”目標的概念教學新嘗試——以《1.1反比例函數》為例

☉浙江省寧波市江北實驗中學 楊紅芬

《義務教育數學課程標準》提出了“四基”、“四能”的理念.“四基”，即讓學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“二能”修改成為“四能”，即發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.課程改革的深化必定引起課堂模式的相應改變，概念課是數學教學的重要課型.傳統課中，核心概念的獲得有兩種基本模式：數學核心概念形成的模式與同化的模式.基于“四基”、“四能”目標下課堂教學怎樣操作，筆者采用研究性變式類比方式進行了探究，現以浙教版九年級上第一章《1.1反比例函數》概念課為例，對新理念邊學習邊類比邊研究.

一、教學目標

基本知識：探索中理解反比例函數概念、兩種不同的函數表達形式、自變量的取值范圍.

基本技能：能根據實際問題中已知條件找到反比例關系，列出反比例函數關系式，判斷反比例函數的方法.

基本活動經驗：從現實情境和已有知識經驗出發探索兩個變量之間的相互關系，即探索人民幣兌換過程中的人民幣面值和張數存在的規律即反比例關系，進一步理解常量與變量的辯證關系，以及反映在函數概念中的運動變化觀點，經過“情景引入”、“分組合作”、“走進生活”、“例題講解”等活動，經歷抽象反比例函數概念的過程，培養觀察、比較、類比、歸納概括能力和解決實際問題的能力.從而培養發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，體驗數學來源于生活實際，激發學習數學的熱情和興趣.

基本數學思想：從一次函數概念中類比出反比例函數概念，體驗類比思想；運用反比例函數解決簡單的實際問題，體驗函數的思想.

教學設計說明：新課標要求學生感悟數學的“基本思想、基本活動經驗”和培養學生“發現問題、提出問題的能力”，體現了“育人為本”的教育理念，也是創新人才培養的需要.教學目標是課堂教學的核心和靈魂，是課堂教學的出發點和歸宿，傳統的教學中只關注結果性目標（知識技能目標），沒有過程性目標（數學思想方法及數學活動經驗），注重學生對概念的同化，重視概念獲得的結果.“四基、四能”下的教學目標不應是簡單的知識傳授，而是要幫助每一個學生進行有效的學習，使每一個學生學會想象，學會思考.愛因斯坦說過：“想象力比知識重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進步的源泉.”

二、教學過程

1.情景引入（數學來源于生活）

師：數學在生活中無處不在.大家看老師手里現有面值為100元、50元、20元、10元的人民幣各一張，你能提出一個關于這些人民幣的數學問題嗎？

生1：100元的可以兌換成2張50元的，50元的可以兌換成5張10元的，20元的可以兌換成2張10元的……

生2：我們生活中還有面值為1元、0.5元和0.1元的人民幣，我們也可以把這些錢兌換成1元、0.5元和0.1元分別是多少張？

師：兩位同學提出了很實際的問題，如果把1張面值為100元兌換成面值50元的人民幣，可換幾張？換成面值為20元的人民幣可換幾張？依次換成面值5元、2元、1元、0.5元的人民幣，各可換幾張？現在我們把換得的張數y與面值x列成一張表格.（學生齊答）

換成的每張面值為x（元） 50 20 5 2 1 0.5換成的張數y（張） 2 5 20 50 100 200

請大家仔細觀察這張表格，面值x和張數y有怎么變化規律呢？

生3：當100元兌換成面額較小的錢時，兌換的面值由大變小的時候，張數由少變多.

生4：不管x與y怎么變化，x與y的乘積始終是100.

師：你會用含x的代數式表示y嗎？變量y是x的函數嗎？為什么？

生4：yx=100.

（“回顧舊知”）師：想得真周到！那什么是變量、常量、函數呢？（屏幕展示三個定義進行復習）我們曾經學習過一次函數和正比例函數，那么這個函數是一次函數或正比例函數嗎？

生6：不是.

師：哪是什么函數呢？

生7：（根據預習和前面的醞釀很確定地說）反比例函數.（由此引出課題）

教學設計說明：傳統課堂教學中主要是培養學生的分析問題和解決問題能力，學生缺乏創新精神.愛因斯坦說過：提出一個問題比解決一個問題更重要，提出問題比研究問題還重要.人的創造性思維往往都源于對事物觀察后能發現新的問題，并提出問題和思考.培養學生“問題意識”是培養學生創新精神和能力的前提.教師在教學中要善于引導學生“發現問題”，注意培養學生發現問題的習慣和思維方法，對于同一個問題都要從不同角度多問幾個“那是什么？”“為什么？”“還能怎么樣？”學生的問題意識增強了，發散思維能力也就逐步形成了.本課引入中：老師拿出面值為100元、50元、20元、10元的人民幣各1張，讓學生觀察后設問：“你能提出一個關于這些人民幣的數學問題嗎？”從學生感興趣并熟悉的事物入手，比較適合引導學生發現問題和提出問題.學生1提出：100元的可以兌換成2張50元的，50元的可以兌換成5張10元……學生2提出：把這些錢兌換成1元、0.5元和0.1元分別是多少張？“面積x和張數y有怎么變化規律呢？”這個有價值的問題正是這個反比例函數概念研究的起點和意義.課堂教學過程中我們應該時時刻刻記得鼓勵學生大膽提出問題，然后仔細甄別問題價值，認真給于評價，讓學生更有興趣觀察事物、更有信心提出有創意的問題，只有發現的經歷才能形成創新精神和意識.

2.分組合作（探索反比例函數）

師：模仿一次函數的定義給反比例函數下個定義.（課件展示一次函數的定義）同時思考對于這個反比例函數我們應注意點什么呢？

學生歸納得到：

（3）自變量取值范圍：x≠0的一切實數.

3.課堂練習（火眼金睛識函數）

練習一：下列函數中哪些是y關于x的反比例函數？若是，請指出K的值.

練習二：當函數y=（m-1）xm2-2是反比例函數時，m=____.

教學設計說明：基本知識和基本技能是后續學習的基礎，是夯實常規教學，培養學生創新思維、創新精神，形成智慧和能力的前提和基礎.這組練習難度小，大部分學生都體驗到成功的喜悅，加強了反比例函數概念的理解，歸納得到了判斷反比例函數的方法：一看解析式（自變量指數為-1）；二看k是否不為0；三看自變量要有意義；四看函數值要有意義.要注意對反比例函數實質的理解，而不是僅僅局限于形式，如中，y是x-1的反比例函數，而不是x的反比例函數.數學知識教學只有實現深層的“意義建構”，而非表面的“形式模仿”，才能促進學生的素養提升，助推學生的終生成長.數學本質穩定不變、題目形式、條件發生變化時，要使學生仍能辨別得請，需重視創設情境引導學生自我構建概念的過程，應該成為數學基礎知識教學的關鍵法則.

4.走進生活

同桌討論：數學來源于生活，請同學們找出生活中的反比例函數關系，并舉例：如：在放學回家行程問題中，當家和學校之間路程一定時，回家平均速度和回家時間成反比例函數關系.（學生分小組討論交流，提出自己在生活中遇到的例子.代表發言）

生7：爸爸每次開車去加油站加油，每次加300元，所加的油量與油價成反比例函數關系.

…

生8：當壓力一定時，壓強與受力面積成反比例函數關系.

教學設計說明：基本數學活動經驗指基本生活經驗和活動經驗的積累，從生活走進教材，從教材走進社會是新課程的基本理念.數學經驗大致可以分為：①日常生活中的數學經驗；②社會科學文化情境中的數學經驗；③從事純粹數學活動累積的數學經驗.

學生自主探究活動隨著課程改革的開展逐漸受到重視，但是容易演變為教師指令之下的“執行性操作”，數學活動絕不等于勞技活動，除了適度培養學生的動手操作能力以外，更重要的是有力提升學生的思維水平.真正有效的活動經驗，不只是感官活動的經驗，更包含思維活動的經驗，真正獲得數學探究的真實心得.本課中創設了“人民幣兌換”，貼近學生的生活經驗，符合學生的學習心理需求.“類比一次函數概念得到反比例數學概念”在這個過程中學生親身經歷了發現概念過程，并提出有關概念的問題，不但能讓他們體驗到這個概念存在的必然性，也經歷了學習數學的理性思維過程.“人民幣引入”、“走進生活”使學生真正體驗從實際背景到抽樣概念的“數學化”過程，最后又回到生活，感受反比例函數研究就來自于生活、生產，服務于生活，體驗實事求是態度、理性解決問題的過程.達到積累基本的數學活動經驗的教學目的.

5.例解講解

師：同學們都是生活中的有心人呢！科學總是與數學相通的，有一著名的科學家說過這樣一句話：給我一個支點，我可以撬動地球！是誰呢？

生9：阿基米德.

師：他本想用這句話來解釋物理學中杠桿平衡原理，今天我們通過一個數學問題來解釋杠桿省力原理.

例：阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設動力y（N），動力臂為x（cm）（杠桿本身所受重力略去不計.杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）.

（1）求y關于x的函數解析式.這個函數是反比例函數嗎？如果是，請說出比例系數.

（2）求當x=50時，函數y的值，并說明這個值的實際意義.

（3）利用y關于x的函數解析式，說明當動力臂長擴大到原來的n（n>1）倍時，所需動力將怎樣變化.

教學設計說明：

（1）理解感悟、靈活運用初中數學思想方法對于提升學生的數學素養、豐富學生的思辨智慧極為重要.作為數學教師，首先應對初中階段所需滲透的基本數學思想方法加強認識、充分了解，如數形結合思想、轉化和化歸思想、類比思想、分類討論思想、函數與方程思想、樣本估計總體的思想等.注重在概念教學中培養學生的學習思想是“教”與“學”的重點，也是教學過程的難點.本課向學生滲透了類比、函數、轉化及數學建模等的基本數學思想和方法.由一次函數的定義推出反比例函數定義，類比既是一種邏輯方法，也是一種科學研究的方法.將例題中物理問題轉化為函數問題，建立反比例函數關系，研究這個反比例函數，得出杠桿省力原理.進一步感受到函數是反映現實生活的一種有效模型.通過例題學生學會了用函數思想解決實際問題的基本技能.認真鉆研數學教材，深入領會編者意圖，努力挖掘概念課中數學思想方法的滲透點，并通過自己的精心預設，重點引導，結合教學內容的逐步展開，向全體學生扎實播撒數學思想方法的“種子”.立足平常，細水長流，方可潛移默化、達成目標.

（2）我們在努力實現學生的全面發展過程中，不可忽視人的非智力因素在其中的影響，我們希望學生能積極發現、提出問題、能認真思考全面分析問題、能嚴謹解決問題，同時又要有對問題保持濃厚的興趣和好奇心，有創新精神、有想象力.只有努力設置平臺，才能讓這些好的精神能在學生身上萌發.利用吸引眼球的“人民幣”引入就是激發他們研究的興趣和好奇心；“類比概念”讓學生體驗了成功，擁有自信心；“走進生活”此環節所舉例子具有很強的生活色彩，體現了反比例函數在日常生活生產中的應用，同時加深了對反比例函數的理解，激發了學生學習數學的熱情和興趣.從感性上去理解研究反比例函數的必要性.例題涉及較多的《科學》學科的知識且數據繁多關系復雜，需要用數學模式的變化來理解物理性質，對學生的能力要求較高而且學生理解問題時有一定的難度，是本節教學的難點.為了分解難點，或者讓他們的心理上能容易接受例題，設計過渡語激發他們研究例題的欲望或激情：“有一著名的科學家說過這樣一句話：給我一個支點，我可以撬動地球！，是誰呢？生：阿基米德.”利用阿基米德的“撬動地球”的歷史故事，很好地激發了學生對問題探究的興趣，因此對抽象函數應用產生了無限的興趣和期待.我們為了激發學生的主動性和積極性，就要千方百計在課堂中設置有效教學活動，創造空間和時間，化冰冷的數學概念為火熱的思考.也許教育的理想就埋伏于此.概念教學過程不只是學科本位、知識本位，而是以人為本，立足于發展和完善人的高度.

6.歸納小結

通過今天這節課的學習，你有什么收獲？還想知道什么？學生回顧本節課的內容，代表發言補充.

7.自我測試（設計3到5題針對本節課的練習題，略）

教學設計說明：小結后“自我測試”環節能及時鞏固反比例函數知識，檢測學生掌握基本知識、基本技能的掌握情況，畢竟基本知識和基本技能的掌握是實現課堂教學目標的最基本的要求，對培養學生對所學知識的自我校正、自我反饋的意識和能力有一定的作用.數學技能指運算的技能、推理的技能、作圖的技能，數據處理的技能、繪制圖表的技能、使用計算器的技能、數學交流等技能.加強基本技能的訓練是義務教育階段的重要目標.解題的規范性、準確性、快速隨著新理念的深入反而被忽視，學生經常因為沒有看清題意或者審題不仔細或者答題不規范等等導致考試、練習時失誤.所以在核心概念課組織練習時，既要關注正誤，又要認真審視學生在解題過程中真實呈現的格式與習慣，并對照教材要求，引領強化，使其形成良好的解題習慣和數學語言表達習慣，建立牢固的規范意識.毫無疑問，對于學生的后續學習乃至終生發展而言，規范意識都不可或缺.

8.教學基本流程

在數學概念課教學過程中，實現“四基”是素質教育出發點和落腳點.因此概念課教學注重引導學生獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方法.我們希望學生有創造力、想象力、有責任感，就必須改革學生的學習方法和教師的教學方法.傳統的記憶、模仿、接受只能掌握一般的知識，難以培養學生的各種能力.依據構建主義的學習觀，學生是學習的主動構建的主體.整堂課設計了“數學來源于生活”、“回顧舊知”、“探索反比例函數”、“小組討論”、“火眼金睛識函數”、“走進生活”、“自我測試”等教學環節豐富了課堂活動，既有教師的主導作用引領，又有學生嘗試自主、合作的學習，使學生經歷知識構建和發現的過程，親自經歷提出問題、發現反比例函數、概括反比例函數的概念過程，注意培養學生發現問題的習慣和思維方法，培養了學生建模的意識、也發展了數學建模的能力.既有自主探索的發現，也有邏輯演繹的生成.這些活動釋放了學生的自主學習的能力和學習的主動性，學生從中積累了一定的數學活動經驗，真正感悟或領會到數學思想.學生的推理能力、抽象能力、分析問題和解決問題的能力、想象力和創造力才有可能提升.當然有效的活動必須在教師恰當的引導下才會產生.我們為有效的活動積極創設條件，搭建平坦，不但讓學生經歷概念產生、發展過程，而且設置的活動更能體現反比例函數概念的本質.

反思的問題：“四基”、“四能”是新的課程目標重心，是不是所有的概念課都要“四基”、“四能”為教學目的呢？所有的概念課都要經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程呢？對于新的教學理論我們抱著學習、實踐的態度對待它，一定會在某一天能夠形成成熟的教學模式，優化概念教學設計，把握新的教學理念，真正使學生在參與過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學本質的目的.

1.裴光亞.初中數學課堂教學：問題探討與教學改革.中學數學教學參考（中旬版），2011.10

2.高峰.如何實施“因式分解”教學.中小學數學（初中版），2012.1-2

3.張偉.“真實性學習”下的初中數學概念教學.中小學數學（初中版）,2011.6