對一道競賽試題的再探究

☉浙江省嘉興二十一世紀(jì)外國語學(xué)校 鄭棟棟

圖1

題 目：如圖1，在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形.求證：△DEF是等邊三角形.（《全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)》初二第12講）

本題將特殊三角形和特殊四邊形結(jié)合起來，將其設(shè)計(jì)成一道探索性較強(qiáng)、解法較多的競賽培訓(xùn)題，然而試題預(yù)留了繼續(xù)探究的空間.本文將逐步探索以平行四邊形的四條邊向外（內(nèi)）作特殊三

角形，所形成的圖形之間的面積關(guān)系.現(xiàn)由筆者整理如下.

一、向內(nèi)作等邊三角形

為了敘述方便，先給出下列定義：①以平行四邊形的四條邊為邊分別向外（內(nèi)）側(cè)作三角形，順次連接四個(gè)三角形的頂點(diǎn)（不包括平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)）所得的四邊形稱為外（內(nèi)）構(gòu)四邊形；②所作的三角形稱為外（內(nèi)）延三角形.

如圖2，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為邊分別向內(nèi)側(cè)作等邊三角形，得到的頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得內(nèi)構(gòu)四邊形EFGH.

探索1：易證△FBE≌△HDG，得FE=HG，同理可得FG=HE，即四邊形EFGH是平行四邊形.現(xiàn)探究內(nèi)構(gòu)四邊形與內(nèi)延三角形的面積關(guān)系.為了便于表述，這里設(shè)AB=a，BC=b，∠ADC=α（0°＜α≤90°），下同.

（1）當(dāng)0°＜α≤60°時(shí)，連接AF，AG.

因?yàn)锳B=CG=a，BF=CF=b，

又因?yàn)椤螰BA=∠FBC-∠ABC=60°-α，

∠FCG=∠BCD-∠FCB-∠GCD=60°-α，

所以△FBA≌△FCG，所以FA=FG.

同理△FBA≌△ADG，所以FA=AG.

所以△FAG是正三角形.

延長BA，過點(diǎn)F作FM⊥BA，垂足為M，則：

根據(jù)上面的探索和定義有下命題.

命題1：當(dāng)內(nèi)延三角形是等邊三角形時(shí)，內(nèi)構(gòu)四邊形的面積為所有內(nèi)延三角形的面積與平行四邊形面積的兩倍之差的絕對值.

二、向外作等邊三角形

如圖3，以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，得到的頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH.

探索2：易證△EBF≌△GDH，得EF=GH，同理可得EH=GF，則四邊形EFGH是平行四邊形.現(xiàn)探究外構(gòu)四邊形與外延三角形的面積關(guān)系.

圖3

（1）當(dāng)0°＜α≤60°時(shí)，在平行四邊形ABCD中AB∥CD，∠BAD=180°-∠ADC=180°-α.

因?yàn)椤鱄AD和△EAB是等邊三角形，

所以∠HAD=∠EAB=60°.

因?yàn)椤螲AE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=60°+α，

∠ADG=∠CDG+∠ADC=60°+α，

所以∠HAE=∠ADG，所以△HAE≌△ADG.

同理可得△HDG≌△GCB.

命題2：當(dāng)外延三角形是等邊三角形時(shí)，外構(gòu)四邊形的面積為所有外延三角形的面積與平行四邊形面積的兩倍之和.

探索3：當(dāng)外延三角形是等邊三角形時(shí)，由命題2可知：

三、向內(nèi)作等腰直角三角形

如圖4，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得內(nèi)構(gòu)四邊形EFGH.

探 索4： 易 證 △HAE≌△HDG，得HE=HG，同理可得HE=HG=FG=FE，即四邊形EFGH是菱形.而∠AHG+∠GHD=90°，則∠AHG+∠AHE=90°，則四邊形EFGH是正方形.

探索內(nèi)構(gòu)四邊形與內(nèi)延三角形的面積關(guān)系.

（1）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為M.

因?yàn)椤螰BE=∠FBC+∠ABE-∠ABC=90°-α，

于是綜上情況可得命題3.

命題3：當(dāng)內(nèi)延三角形是等腰直角三角形時(shí)，內(nèi)構(gòu)四邊形的面積為所有內(nèi)延三角形的面積與平行四邊形面積之差.

四、向外作等腰直角三角形

如圖5，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得外構(gòu)四邊形EFGH.

探索5：易證△HAE≌△HDG，得HE=HG，同理可證四邊形EFGH是菱形.而∠AHG+∠DHG=90°，則∠AHG+∠AHE=90°，即四邊形EFGH是正方形.于是：

命題4：當(dāng)外延三角形是等腰直角三角形時(shí)，外構(gòu)四邊形的面積為所有外延三角形的面積與平行四邊形面積之和.

探索6：當(dāng)外延三角形是等腰直角三角形時(shí)，由命題4可知