萬變不離其宗——談初中數學概念教學的重要性

☉江蘇省宜興市實驗中學 張 蘇

萬變不離其宗
——談初中數學概念教學的重要性

☉江蘇省宜興市實驗中學 張 蘇

數學概念通俗地說，就是將我們所處三維空間中的具體形式（包括物質、物體等）抽象成用數學語言描述其本質屬性的一種說法，是揭示外在與本質之間的橋梁．它的產生和形成過程，一般地說，是人們在對實際的（或具體的）事例觀察的基礎上，通過比較、歸納，再進一步概括、抽象出本質的過程，實質上就是一個思考的過程．初中數學有大量的數學概念，這些概念是學生在學習中正確思考問題的基礎，是學生有創見地解決問題的保障．因此，初中數學的重中之重，是教師對學生進行了良好的概念教學，而不是僅僅教學生會做幾道中考題．已故特級教師孫維剛說過：“現在的教學有點過，不重視概念，卻拼命教學生重復解題，應付中考就做些類似模型題來提高分數，長此以往，學生解決新的問題的能力就磨滅了．”因此，本文在此談談初中數學概念教學的重要性．

一、了解體系關注結構

這方面主要是對教師而言的，因為初中數學新課程（以蘇教版為例）的概念之間，往往具有很強的聯系．隨著七年級到九年級學生認知水平的上升、思維縝密程度的提高，教材中的概念也由簡單到復雜，由具體到抽象，由非形式化漸漸向形式化過渡，初中數學中的概念就像搭積木一樣，七年級的是基礎（地基），八年級的是提高（大梁），九年級的是深化（房頂），構成了初中數學完整的概念網絡體系．

因此，教師在低年級進行概念教學時，往往要關注本年級教學中這批概念的數學地位、將來的使用頻率等，從整體上把握這些概念的主次、側重點、難易程度，有時隨著教材的調整某些概念的地位也會隨之變化，教師要及時更新觀念，用與時俱進的眼光來重塑概念體系．

案例1 《絕對值》（蘇教版七年級《有理數》）

絕對值概念貫穿著整個中學數學，首先是在七年級《有理數》這一章引入，接著在算術平方根及方程、不等式中出現，將絕對值概念進行“自然數——整數——有理數——實數”這樣的拓展挖掘，最后在高中數學中，絕對值又有完全不同的新的含義，它既是向量的模也是復數的模等．

因此，在初中數學教學中，教師應把握“絕對值”這一數學概念對各年級學生的教學要求，對學生逐級教授，螺旋上升，加深理解．

二、重視背景類比探究

初中的學生感性思維較強，理性思維較弱，概念教學如何使學生記憶深刻？如何形象化？筆者覺得：不妨利用心理學的知識，注重初中生學習的心理機制，從形象到抽象，從感性到理性，只有對概念教學采用一定的背景（或者叫情境），才能大大激發初中生學習數學概念（尤其是抽象數學概念）的主動性和積極性．

案例2 《數軸概念的教學》（蘇教版八年級《實數》）

溫度上升15攝氏度我們是怎樣用數學來表示的？下降15攝氏度又怎么表示呢？收入980元與支出980元等這些相反量怎么表示呢？教師拿出溫度計，讓學生觀察其特點，從這樣的生活背景中，我們引出了正負數的概念：觀測水銀柱的上下移動，顯然水銀面越下移，所得到的溫度越低，通過溫度計數字變化引導學生抽象出本質屬性：

（1）0攝氏度的含義；（2）度量的單位；（3）增減的方向．

此時，教師提醒學生，能否將其抽象成數學用語來表述呢？由此啟發學生用直線上的點表示數，引出“數軸”的概念．敘述：實數與數軸上的點是一一對應的，就是說所有的實數都可以用數軸上的點來表示；反之，數軸上的每一個點都表示一個實數.數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數.在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等.實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離.利用數軸可以比較任意兩個實數的大小.“數”與“形”是對立統一的，借助于數軸，可以把抽象的無理數或實數直觀地表示出來，達到“以形啟數”、“以數助形”的目的．在數軸上表示實數，根據數軸上的數進行有關的計算等都能體現數形結合思想.

從對概念背景（情境）實物以及數學應用中的感受，激發了學生從認識生活中的實例來合理抽象、歸納數學本質，培養了學生的學習興趣，使其從現實生活背景中，發現并抽象出“數軸概念”．筆者以為，注重概念教學背景化符合初中生的認知心理，給他們留下了深刻的印象，有助于學生歸納、抽象、分析概括能力的培養，學生數學素養和思維素質也將得到提高．日本數學教育家米山國藏說：“很多年后學生并不記得你教授的數學知識，但是你教給他從實際背景中分析問題的能力將給他帶來一生的幫助．”

三、關注內涵注重外延

現在的公開課，講授概念教學時，往往是“很熱鬧”、“很情境化”，但學習之余，筆者靜心想想，有時也有些擔憂，概念課太過于追求情境或者說只追求了外在情境而忽視了內在本質，完全只追求課堂效果、氣氛，不重視“形式化”的數學結果如何推導，否定了一些理論證明，采用直觀、感性的認識使學生接受概念、公式等.這如何叫數學課呢？

教授初中數學概念不能僅僅只停留在表面，更需要對本質的一些深刻認識和其外延的一些展開拓展．筆者認為，概念教學僅僅停留在表面是膚淺的，但過于形式化又是初中生不能接受的，所以要把握這方面“度”的處理技巧，只有將概念內涵和外延教授得體的教師，才是與時俱進的教師．

案例3 《正弦值》（蘇教版九年級《銳角三角函數》）

sinα是表示α的正弦函數的一個完整符號，它不僅表示了正弦函數的種類和名稱，而且如果從本質來看，它還表示了α是自變量，sinα是α的函數．初中數學對正弦函數的認知，僅限于銳角的三角函數值，因此學生對正弦函數的外延只能認知到［0，1］，但是很多初中生并不知道正弦函數的內涵是什么.

教師在教授正弦值時，應該給予學生一種變量思想的滲透，即如果用字母y來表示這個函數，那么函數與自變量之間的關系也可以像一次函數、二次函數那樣用等式來表示，如圖1，寫成y=sinα=，從而讓學生明白sinα是一個整體（只有符號sin是沒有意義的），即正弦函數是一種特殊的、以比值為結果的函數．

圖1

總之，數學概念教學有很多的特點，新課程改革以來，概念教學從以往“被忽視”到“被重新提起關注”，是一種好的現象．中科院院士、數學家王元曾說：“數學是教概念、玩概念，解題技巧是最微不足道的東西，最后高深的數學純粹就是講概念．”我們要教會學生解題，但解題不等于數學，因此，筆者期待在初中數學教學中，以更鉆研的精神來好好教授學生最基本的數學概念，使概念在學生心中開花生根，進而利用概念萬變不離其宗的特點解決實際問題．

1.王建利.試論初中數學概念的有效性教學［J］.中學研究，2011，4.

2.湯日熱.淺談新課標下初中數學基本概念理解及其應用［J］.吉林教育，2010，4.

3.馬海勇.關于初中數學概念的教學方法探討［J］.教師，2010，3.