尋找知識的鑰匙——淺談一次函數(shù)的考點

☉江西省石城縣實驗學(xué)校 曾令傳

尋找知識的鑰匙
——淺談一次函數(shù)的考點

☉江西省石城縣實驗學(xué)校 曾令傳

函數(shù)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的重點知識，也是我們解決一些實際問題的重要工具.而一次函數(shù)是中學(xué)生首次接觸的函數(shù)知識，是后面反比例函數(shù)、二次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而且與二元一次方程式以及不等式的關(guān)系密切，所以成為了中考命題的熱點，在中考中的比重呈上升趨勢.它作為一種數(shù)學(xué)模型，在日常生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.新課標(biāo)要求學(xué)生掌握一次函數(shù)的概念及圖像；掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，并能求解有關(guān)實際問題；會用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.下面我們針對學(xué)生如何學(xué)好一次函數(shù)進行分析.

一、充分理解一次函數(shù)的概念

如假設(shè)有兩個變量：z和y，并且對于z的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把z稱為自變量，把y稱為因變量，y是z的函數(shù)．如果y=kx+b（b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).

解析：根據(jù)一次函數(shù)的概念可知，在求自變量的取值范圍的問題中，要求分母不等于零及被開方數(shù)大于等于零是解決此類問題的切入點.由分母1－3x≠0，得x≠，故應(yīng)填x≠.

二、學(xué)會利用一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一次函數(shù)利用了數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想，對于學(xué)生而言，要想學(xué)會一次函數(shù)，一定要學(xué)會利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì).

例2 （2012年山西省）如圖1，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖像分別與x軸、y軸的負半軸相交于A、B，則m的取值范圍是（ ）.

A.m＞1 B.m＜1 C.m＜0 D.m＞0

解析：本題主要考查了一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，解決本題的關(guān)鍵是熟悉一次函數(shù)性質(zhì).因為函數(shù)圖像經(jīng)過二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1.故選B.

例3（2012年陜西省）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)y=與y=x-1的圖像交于A點，則點A的坐標(biāo)為（ ）.

圖1

A.（-1，4）B.（-1，2）

C.（2，-1）D.（2，1）

三、學(xué)會判定一次函數(shù)解析式

例4（2012年湖南省衡陽市）如圖2，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行且經(jīng)過點A（1，-2），則kb=________.

解析：本題考查的是一次函數(shù)的解析式，解題關(guān)鍵在于根據(jù)兩平行直線得解析式的k值相等，求出k確定的值.然后把點A的坐標(biāo)代入解析式求出b的值，再代入代數(shù)式進行計算即可.

因y=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行，所以k=2.

又y=kx+b的圖像經(jīng)過點A（1，-2），所以2+b=-2，解得b=-4.

所以kb=2×（-4）=-8.

圖2

四、了解一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系

例5 （2012年湖北省恩施市）如圖3，直線y=kx+b經(jīng)過A（3，1）和B（6，0）兩點，則不等式0＜kx+b＜x的解集為________.

解析：本題考查了一次函數(shù)的圖像與一元一次不等式（組）的關(guān)系.解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想.這種類型的題一般不需要直接解不等式（組），只要找準(zhǔn)兩個圖像的交點坐標(biāo)，問題即可迎刃而解.過點A（3，1）和原點的直線表達式為y=x，即直線y=kx+b和y=x交點為A，由圖像知當(dāng)x＜6時，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，當(dāng)x＞3時，y=kx+b的值小于y=x的值，綜上所述，3＜x＜6是不等式0＜的解集.

圖3

五、注重一次函數(shù)的實際應(yīng)用

例6（2012年湖北省荊州市）荊州素有“中國淡水魚都”之美譽.某水產(chǎn)經(jīng)銷商在荊州魚博會上批發(fā)購進草魚和烏魚（俗稱黑魚）共75千克，且烏魚的進貨量大于40千克.已知草魚的批發(fā)單價為8元/千克，烏魚的批發(fā)單價與進貨量的函數(shù)關(guān)系如圖4所示.

（1）請直接寫出批發(fā)購進烏魚所需總金額y（元）與進貨量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若經(jīng)銷商將購進的這批魚當(dāng)日零售，草魚和烏魚分別可賣出89%、95%，要使總零售量不低于進貨量的93%，問該經(jīng)銷商應(yīng)怎樣安排進貨，才能使進貨費用最低？最低費用是多少？

解析：解決函數(shù)圖像有關(guān)的實際問題時，首先觀察兩坐標(biāo)軸表示的意義，其次觀察圖像，可得此函數(shù)圖像分為兩段，所以是一個分段函數(shù)，寫自變量的取值范圍時觀察實心圓點和空心圓圈.在利用函數(shù)進行方案設(shè)計時，要注意關(guān)鍵詞語“共、大于、不低于、費用最低”等關(guān)鍵詞語，以列方程、函數(shù)、不等式，從而幫助求解.

圖4

（2）設(shè)該經(jīng)銷商購進烏魚x千克，則購進草魚（75－x）千克，所需進貨費用為w元.

因為16＞0，所以w的值隨x的增大而增大.

答：該經(jīng)銷商應(yīng)購進草魚25千克，烏魚50千克，才能使進貨費用最低，最低費用為1400元.

一次函數(shù)與其他知識鏈接比較多，如方程和不等式等，并且還很抽象，不容易理解，對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)上難度較大.針對這種情況，教師在實際教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理特點，對教學(xué)內(nèi)容綜合設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、思考，是學(xué)生樂學(xué)，進而提高課堂教學(xué)效率.