小議圖形的相似

☉江蘇省連云港外國語學校 趙立新

小議圖形的相似

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相似知識是初中幾何的重點內容，運用相似的相關知識解決一些實際問題.現在的中考試題更加貼近生活，特別是在綜合題中，注意相似形的靈活運用，尤其是應用相等線段代換、等比代換解決相似問題是其中的重點和難點.

一、考點剖析

1.相似多邊形定義，判斷及相似多邊形性質.

2.相似三角形的相關概念.

3.相似三角形的判定定理：

（1）如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則這兩個三角形相似.（簡稱為兩角對應相等，兩三角形相似）

（2）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.（簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似）

（3）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.（簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似）

（4）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.

4.相似三角形性質：

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.

（2）相似三角形對應中線的比，對應角平分線的比，對應高的比，對應周長的比都等于相似比.

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方.

二、常考題型分類解析

題型一 直接利用多邊形的相似，求對應多邊形的邊和角.

例1 如圖1中的兩個梯形相似，求出未知邊x、y、z的長度和α、β的大小.

圖1

所以x=3，y=6，z=3. 由于對應角相等，所以α=∠D=180°-∠A=118°，β=∠B′=180°-∠C′=70°.

點評：①應用相似多邊形特征求邊和角時，關鍵是找對應邊和對應角，從而列出等式，通過解方程求解.②一般地，相等的角是對應角，對應角所夾的邊是對應邊；對應邊所夾的角是對應角.

題型二 根據多邊形的判定方法來判斷規則多邊形（長方形）是否相似

圖2

解析：新長方形的長為a+2x，寬為b+2x.

由（1）、（2）知，這兩個長方形對應邊不成比例，這個新長方形與原長方形不相似.

點評：①此題看對應邊是否成比例，用了作差的方法.若差等于零，則兩比值相等；若差不等于零，則比值不相等.②找對應邊時，注意矩形的長寬都要檢查，不能只考慮一種情況.

題型三 根據相似三角形的四個判定定理之一進行三角形相似的判斷

例3 如圖3，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B.

（1）求證：△ADF∽△DEC；

圖3

解析：（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，AB∥CD.

所以∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°.

所以∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，所以∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC.

（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，CD=AB=4.

又因為AE⊥BC，所以AE⊥AD.

點評：利用三角形的相似知識和直角三角形的勾股定理解決本題，這兩個知識點是初中數學的重點內容，需要熟練掌握和靈活應用.

題型四 相似三角形和全等三角形的綜合運用

例4 如圖4，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F.

（1）證明：△ACE∽△FBE；

（2）設∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由.

解析：（1）因為Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，所以AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.

圖4

點評：本小題綜合考查了旋轉、相似三角形、直角三角形和三角形全等的知識，首先看清題意，把問題分成幾部分逐一解決，從而最后得到完整的結論.

相似多邊形的定義、性質與相似三角形是相通的，而相似多邊形的判定與相似三角形的判定是有區別的，對應角相等或對應邊成比例的三角形相似，而對應角相等且對應邊成比例的多邊形才相似，所以不能隨意地把判定相似三角形的方法套用來判定多邊形相似.例如，兩個矩形的各角都相等，但對應邊不一定成比例，所以兩個矩形不一定相似.另外研究多邊形相似時通常利用輔助線使之轉化為三角形問題.