淺析解直角三角形的應用問題

☉山東省莒南縣筵賓鎮初級中學 徐淑杭

淺析解直角三角形的應用問題

☉山東省莒南縣筵賓鎮初級中學 徐淑杭

解直角三角形的應用是初中數學的一個很重要的知識點，在歷次中考中所占的分值基本都在10分以上，主要考查在物高測量、建筑設計、坡角、坡比、堪測礦藏、圖案設計、氣象預報、工程技術、物理學、醫學、航海航空等諸多領域應用，這些知識需要學生根據已知條件解直角三角形的方法，運用解直角三角形的知識解決問題.具體做到：1了解某些實際問題中的仰角、俯角、坡度等概念；2將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型；3涉及解斜三角形的問題時，通過作適當的輔助線構造直角三角形，使之轉化為解直角三角形的計算問題而達到解決實際問題的目的.關于解直角三角形應用有如下知識點和考點.

一、知識點與技能掃描

1.課程內容解讀

（1）通過實例（梯子的傾斜程度）認識銳角三角函數的含義.

（2）知道3 0°、45°、60°角的三角函數值.

（3）會使用計算器由銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求銳角.

（4）熟悉利用解直角三角形對物高進行測量的方法.

（5）掌握運用三角函數解決與直角三角形有關的實際問題.

2.中考考題的共同點

（1）均考查了運用三角函數解決與直角三角形邊角有關的實際問題.

（2）都要借助輔助線完成.

（3）都能分解為含3 0°、45°、60°的特殊直角三角形.

（4）結果都有限制條件.

二、中考典例剖析

圖1

例1 如圖1，一架飛機在空中P處探測到某高山山頂D處的俯角為60°，此后飛機以3 00米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行，飛行10秒到山頂D的正上方C處，此時測得飛機距地平面的垂直高度為12千米，求這座山的高（精確到0.1千米）.

答案提示：延長CD交AB于G，則CG=12千米.

依題意得PC=3 00×10=3 000米=3千米.

在Rt△PCD中，

答：這座山的高約為6.8千米.

考點剖析：本題是一道較簡單的實際應用題，只需要作出輔助線構造直角三角形，然后在直角三角形中利用銳角三角函數的知識，就可以輕松解決問題.

圖2

圖3

例2 圖2為已建設封頂的16層樓房和其塔吊圖，圖3為其示意圖，吊臂AB與地面EH平行，測得A點到樓頂D點的距離為5m，每層樓高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m，求塔吊的高CH的長.

答案提示：根據題意得：DE=3.5×16=56，AB=EF=16.

答：塔吊的高CH的長為69m.

考點剖析：本題是一道關于生活中塔吊的題目，乍看圖形比較復雜，但是靜心看一下圖形解決起來是比較簡單的.主要考查了將實際問題轉化為數學問題的能力，只要正確地運用銳角三角函數的知識就可以得到正確答案.

例3 在一個陽光明媚、清風徐來的周末，小明和小強一起到郊外放風箏﹒他們把風箏放飛后，將兩個風箏的引線一端都固定在地面上的C處（如圖4）.現已知風箏A的引線（線段AC）長20m，風箏B的引線（線段BC）長24m，在C處測得風箏A的仰角為60°，風箏B的仰角為45°.

（1）試通過計算，比較風箏A與風箏B誰離地面更高.

（2）求風箏A與風箏B的水平距離.

圖4

（精確到0.01m；參考數據：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°=1，sin60°≈0.866，cos60°=0.5，tan60°≈1.732）

答案提示：（1）分別過A，B作地面的垂線，垂足分別為D，E.

即風箏A與風箏B的水平距離約為6.97（m）.

考點剖析：本題是同學們比較感興趣的放風箏問題，主要是應用直角三角形的邊角關系來解決本題，首先構造直角三角形，分別過A，B作地面的垂線，垂足分別為D，E.第（1）問是已知角和斜邊，利用正弦求角的對邊，求出兩個對邊就可以比較；第（2）問已知角和斜邊，利用余弦求角的鄰邊.

三、復習方法建議

（1）精——將考點、考向、方法、技巧、題例等呈現給學生，所呈現要精而又精.

（2）準——做到不偏離航線，使復習與中考接近起來，提高命中率，也使學生感受提前進入中考，這就做到了“準心復習”.

（3）全——作為中考前的復習，一定要做到全面系統，不遺漏任何一個復習點不給學生造成遺憾，這要求我們對初中知識點做出全面的串接.

（4）實——在復習中不能只享受教師整理得如何，更要將復習過程和結果實實在在地落實到每一位學生身上.

解直角三角形應用的學習要全面落實“三基”，教師重視提煉教學思想，發展理性思維.注意學生閱讀理解能力和書面表述能力的培養，關注學生觀察問題、分析問題、處理問題的方法與能力，應加強運算的合理性和科學性的教學，解直角三角形的應用所涉及的知識點主要是“勾股定理”和“銳角三角函數”，扎實、牢固地掌握好這兩部分內容是正確解直角三角形的基本前提，只要掌握好這兩部分內容，就等于掌握了解直角三角形的有力工具，只要能夠靈活運用，就能游刃有余地解決問題.