初顯端倪的“幾何概型”中考題超綱嗎？

☉北京師范大學(xué)出版集團(tuán) 岳昌慶

☉江西省新余市渝水區(qū)羅坊中學(xué) 胡 俊

初顯端倪的“幾何概型”中考題超綱嗎？

☉北京師范大學(xué)出版集團(tuán) 岳昌慶

☉江西省新余市渝水區(qū)羅坊中學(xué) 胡 俊

近年的全國(guó)各地中考試題中，概率部分好題連連，請(qǐng)看2011年呼和浩特市卷第14題（3分）.

例1 在半徑為2的圓中有一個(gè)內(nèi)接正方形，現(xiàn)隨機(jī)地往圓內(nèi)投一粒米，落在正方形內(nèi)的概率為_(kāi)_________.（注：π取3）

圖1

評(píng)注：嚴(yán)格地說(shuō)，這是一道幾何概型問(wèn)題，而課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)概率考核的要求是“能計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率.在教學(xué)中，應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活、自然、社會(huì)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的聯(lián)系，使學(xué)生在具體情境中體會(huì)概率的意義”［1］［2］．

這道中考題似乎是超綱了，但實(shí)際上不然.課程標(biāo)準(zhǔn)中又有“對(duì)有關(guān)術(shù)語(yǔ)不要求進(jìn)行嚴(yán)格表述”［1］，且課程標(biāo)準(zhǔn)中還有以下“案例”供編寫(xiě)教材及教學(xué)時(shí)參考.

例2 如圖2，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，求轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針指向陰影部分的概率.［1］

這就不難理解為何例1不算超綱了.隨機(jī)思想是統(tǒng)計(jì)與概率的靈魂，新課程提倡數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，在具體情境中了解概率的意義，通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)這種思想是十分必要的.中考概率問(wèn)題不只單純考查概率知識(shí)，還要考查其他數(shù)學(xué)知識(shí)，如方程、函數(shù)、幾何圖形等.

例3（2011年高考福建卷理科第4題、文科第7題5分）如圖

圖2

3，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△CBE內(nèi)部的概率等于（ ）.

圖3

評(píng)注：本題是一道簡(jiǎn)單的幾何概型題目，既考查了平面幾何知識(shí)，又加深了學(xué)生對(duì)概率——隨機(jī)思想的理解.

無(wú)獨(dú)有偶，請(qǐng)看例3的背景知識(shí)在中考中也曾出現(xiàn)過(guò)：

例4 （2001年中考杭州市卷第6題3分）如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上任意一點(diǎn)，則有（ ）.

A.△ABE的周長(zhǎng)+△CDE的周長(zhǎng)=△BCE的周長(zhǎng)

B.△ABE的面積+△CDE的面積=△BCE的面積

C.△ABE∽△DEC

D.△ABE∽△EBC

略解：如圖4，選B.

評(píng)注：本題的結(jié)論更具有一般性，例3只是其特殊情況之一.

可供教師命制相關(guān)題目、學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)參考的類似結(jié)論有：

（1）如圖5，△ABC的中線AD將該三角形的面積平分.

（2）如圖6，三角形的重心與三角形三頂點(diǎn)的連線，把該三角形分成三個(gè)等面積的小三角形.

（3）如圖7，過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF，分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，則直線EF將該平行四邊形的面積平分.

圖4

圖5

圖6

圖7

（4）如圖8，過(guò)梯形ABCD中位線GH中點(diǎn)O的直線EF，分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，則直線EF將該梯形的面積平分.

（5）如圖9，過(guò)⊙O的圓心O的任意直線與該圓交于點(diǎn)E、F，則直線EF將該圓的面積平分.

（6）如圖10，設(shè)O為任意四邊形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，則折線B-O-D將該四邊形的面積平分.

圖8

圖9

圖10

（7）如圖11，過(guò)任意四邊形ABCD對(duì)角線AC中點(diǎn)O的直線EF∥BD，分別與BC、CD交于點(diǎn)E、F，則直線BF將該四邊形的面積平分.（直線BF亦被稱為“好線”）

（8）菱形、矩形、正方形是平行四邊形的特殊情況，（3）中的結(jié)論也成立.

（9）等腰梯形、直角梯形是梯形的特殊情況，（4）中的結(jié)論也成立.

（10）顯然，對(duì)于平行四邊形，兩條對(duì)角線分別將該平行四邊形的面積平分.

圖11

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：47，49.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：119.