小題大做，借題發揮——從一道中考填空題說起

☉浙江省紹興縣平水鎮中 王天月

☉浙江省紹興縣平水鎮中 沈岳夫

小題大做，借題發揮
——從一道中考填空題說起

☉浙江省紹興縣平水鎮中 王天月

☉浙江省紹興縣平水鎮中 沈岳夫

題目 （2010年武漢市）如圖1，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD的長為（ ）.

圖1

此題結構簡單，形式優美，內容豐富，可用知識點多，解法多樣，具有一定的啟發性和拓展性.下面就解法思路及其演變作些探析，與大家共賞.

一、試題解法及點評

1.構造等腰三角形，常見但實用

解法1：構造等腰三角形，應用勾股定理.

圖2

圖3

解法2：構造等腰三角形，應用三角形相似.

點評：在一個三角形中，如果已知邊或角中的三個元素（三個角除外），那么這個三角形一般是可解的，若圖中出現了特殊的45°角，可以通過作三角形一邊的高構造雙直角三角形.解法1是在構造出等腰直角三角形的基礎上，再應用勾股定理解決問題；解法2是在構造出等腰直角三角形的基礎上，再應用三角形相似使問題得到解決.這些方法都是解數學題的通法，由于學業考試十分重視對基礎知識、基本技能和通性通法的考查，所以教師在平時的教學中，要引導學生熟練掌握數學模式題的常規解法，不斷積累經驗，提高學生的解題能力，達到“以不變應萬變”的目的.

2.采用截長或補短，經典又給力

解法3：采用截長法，應用三角形全等.

圖4

圖5

解法4：采用補短法，應用三角形全等.

點評：當題目中有角平分線這個條件時，自然想到構造軸對稱圖形.解法3是在角的長邊上截取一段使它等于該角短邊的長，即CG=CA，可證△ACD≌△GCD，然后把問題轉化到Rt△CDE中，求得CD的長；解法4是延長角的短邊使它等于該角長邊的長，即CH=CB，可證△CHD≌△CBD，然后把問題轉化到Rt△CDF中，求得CD的長.解答此題的難點并不在于計算，而主要在于能不能形成正確的解題思路.由此可見，圖形變換在證明和計算中也會經常用到，關鍵是要讓學生樹立“變換思想”，掌握“變換方法”.一般地，當遇到角平分線、折疊、翻折等條件時，其實質是考查對稱的相關知識，就應考慮對應元素之間的變換.

3.妙用圖形變換法，獨特又精彩

解法5：利用角平分線，構造軸對稱，應用三角形全等.

圖6

圖7

解法6：利用旋轉變換，應用圓內接四邊形的性質證三點共線.

點評：圖形變換題是近幾年學業考試的熱點題型，圖形的旋轉、平移、軸對稱等都是考試熱點，解這類問題，要弄清圖形是怎樣變換的，然后根據相關條件求解.解法5是由角平分線聯想到它的軸對稱性，它的常見輔助線是“經過角平分線上一點向角的兩邊作垂線”，將不規則的四邊形ACBD割補成正方形DECF，問題得解；解法6通過旋轉變換，將已知線段AC、BC集中起來，經證明它們的長度和等于CE，并由45°構造等腰直角三角形，這樣把CD的計算問題轉化到Rt△DCE中，再用三角函數知識解決問題.

4.利用解析法，添坐標系，直觀又簡捷

圖8

解法7：利用直角坐標系，應用兩點間距離公式.

點評：解法7主要是條件中有些特殊的點（如中點）或特殊的圖形（如圓），通過建立適當的直接坐標系，可以將某些幾何求值問題、證明問題全部轉化或部分轉化為代數問題加以解決（有時較之其他的方法更為簡潔）.

5.運用特殊方法，新穎又別致

解法8：運用直角三角形內心的性質.

圖9

圖10

解法9：運用兩次相似，整體相加的方法.

點評：在解題時，仔細觀察題目的外形，把握問題的特征，展開聯想，創設整體，常常會使解題思路豁然開朗.此題運用兩次相似三角形的對應線段成比例，通過整體相加、數形結合等基本思想方法的運用，考查學生分析問題和解決問題的能力，同時也能反映出學生的思維差異.因此，仔細觀察，善于聯想，在條件與結論之間尋找最便捷的橋梁，是學習數學的理想追求.

解法10：應用托勒密定理.

對于托勒密（Ptolemy）定理——圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.應用它來解答此題最快捷.

點評：通過托勒密（Ptolemy）定理的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結論的內在聯系，為尋求解題途徑指明了方向，使問題的解決簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為易的目的，而且還可以開拓學生的思路、提高解題能力，對學生學習興趣的培養也大有裨益.

二、試題推廣及演變

1.試題推廣

通過對上述解法的再思考，很容易證明這個關系式是成立的，但是離不開“∠ACB=90°（或AB是⊙O的直徑）”這個條件.因此得到：

定理1：過直角三角形直角頂點的角平分線截這個直角三角形的外接圓，所截得的線段長等于兩直角邊和的倍.用數學語言表示為：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O為Rt△ABC的外接圓，CD平分∠ACB且交⊙O于點D，則CD=（AC+BC）（.證明過程類似于解法1、解法2等，這里從略.）

把定理1的題設一般化：如果∠ACB≠90°，其他條件不變，那么AC、BC、CD這三者之間又有著什么樣的數量關系呢？通過類比探究得到：

圖11

2.試題演變

演變1：立足原題，提煉本質

例1（由選擇題變函數題）

圖12

圖13

如圖12，已知A、B兩點的坐標分別為（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，反比例函數y=的圖像經過點P，則k的值為______.

點評：此題是一道融幾何、代數內容為一體的填空綜合題，對圓、反比例函數、等腰直角三角形、勾股定理、方程的認識提出了較高的要求，屬于《數學課程標準》中的靈活運用的層次.此題可以抽象為對原題進一步的變式，屬形異質同，此題注重對數學思想方法、探究思維能力和創新能力的理解與滲透，體現綜合性、新穎性、思考性、思想性，題目解法靈活多樣，較好地考查了學生分析問題和綜合解決問題的能力.

例2（由選擇題變證明題）

如圖14，AB是⊙O的直徑，C點為半圓上的一點（AC＞BC），∠ACB的角平分線交⊙O于點D，連接AD、BD，過D點作DE⊥AC，垂足為E.試問：

圖14

圖15

解：如圖15，過D點作DF⊥CB，垂足為點F.由題意先證Rt△AEDRt△BFD，得AE=BF；再證四邊形CEDF是正方形，得CE=CF.所以：

點評：本題是將選擇題變為證明題，結論變得具有開放性，難度比原題有所增大，但此題解法較多，除了所給出的方法，還可以用解法3（截長法）、解法4（補短法）解決，有興趣的讀者不妨試一試.

演變2：變化情景，推陳出新

例3（由特殊變一般）

如圖16，AB是⊙O的一條弦，C點為半圓上的一點（AC＞BC），過O點作OD⊥AB于H，交⊙O于D點，連接CD，過D點作DE⊥AC，垂足為E，探究：

（1）例2的兩個結論是否仍然成立？

圖16

解：（1）如圖16，過D點作DF⊥CB，垂足為點F.由題意先證Rt△AED≌Rt△BFD，得AE=BF；再證Rt△CED≌Rt△CFD，得CE=CF.所以：

演變3：變換圖形，探幽尋芳

例4（由內角平分線變外角平分線）

如圖17，⊙O交x軸于A、B兩點，交y軸于D、P兩點，圓心O在y軸上，過點D作DE⊥弦AC，垂足為E點，Q點在BC的延長線上.

圖17

圖18

（2）如圖18，過D點作DF⊥CB，垂足為F.先證DE=DF，CE=CF，再證Rt△AED≌Rt△BFD，所以AE=BF，后面步驟類似例3的過程.（請讀者自己思考、完成.）

點評：本題難度比例3又有所增大，該題從三個層面作了變式，首先條件“OD⊥AB”由直接變間接；其次點C、D從在弦AB的異側變為同側；再次把內角平分線變成外角平分線.通過這種改變題目的條件、結論或情境等多種途徑對典型試題進行變式探究，強化學生對知識和方法的理解，讓學生熟練地運用垂徑定理、弧、弦、圓心角的關系、圓周角定理及推論和勾股定理等基礎知識，幫助學生對問題進行多角度、多層次的思考，掌握相關的作輔助線的方法，以提高學生的解題能力.