構造二次函數求解幾何圖形中的最值

☉江蘇省睢寧縣凌城中學 秦敬軍

構造二次函數求解幾何圖形中的最值

☉江蘇省睢寧縣凌城中學 秦敬軍

學習了二次函數，我們就會經常遇到幾何問題的最值問題，不少同學碰到此類問題總是感到無從著手.事實上，處理這類問題，只要我們能抓住一個問題，即根據題意和幾何圖形的性質求出二次函數的表達式，再依據配方法或公式法求出二次函數的最值.現以2012年全國部分省市的中考試題為例說明如下：

一、利用圖形的面積構造二次函數

例1 （2012年江蘇無錫）如圖1，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=xcm.某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

圖1

解析：設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則

所以當x=8時，S取得最大值384cm2.

點評：要先求出表面積的表達式，發現是二次函數就可以利用配方法或利用頂點公式求最值，但要注意x的取值范圍.

二、根據勾股定理構造二次函數

例2 （2012年江蘇揚州）如圖2，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是_______.

解析：設AC=x，則BC=2－x.

因為△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

所以∠DCA=∠ECB=45°.

所以∠DCE=180°－90°=90°.

在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，

圖2

故當x=1時，DE2有最小值，最小值為1，此時DE有最小值，DE=1.

點評：動態問題中的最值問題，往往通過建立恰當的函數模型，再根據函數的性質確定最大（小）值.

三、根據相似構造二次函數

例3 （2012年福建南平）如圖3，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C，若∠B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與點B、C重合），求CE的最大值.

解析：因為∠1=∠B，∠1+∠CDE=∠B+∠BAD，

圖3

點評：求線段的最值可以代數化，運用函數求最值是一種常見的方法，當然首先要正確建立函數關系，其次要能用好函數的性質求最值，最后要回歸到幾何問題中來﹒

四、根據線段乘積構造二次函數

例4 （2012年江蘇蘇州）如圖4，已知直線l與半徑為2的⊙O相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2＜x＜4）.當x為何值時，PD×CD的值最大？最大值是多少？

解析：過O作OE⊥PD，垂足為E.

因為PD是⊙O的弦，OF⊥PD，

圖4

所以PD×CD=2（x－2）×（4－x）=－2x2+12x－16=－2（x－3）2+2.

因為2＜x＜4，當x=3時，PD×CD有最大值，最大值是2.

點評：從圓的性質出發，靈活運用相似三角形、勾股定理等知識，利用線段的乘積構造出二次函數，并通過對其解析式配方，根據二次函數的性質求解問題.

五、根據圓的知識構造二次函數

例5（2012年江蘇南京）某玩具由一個圓形區域和一個扇形區域組成.如圖5，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別相切于點A、B.已知∠CO2D=60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個交點，且EF=24cm.設⊙O1的半徑為xcm.

（1）用含x的代數式表示扇形O2CD的半徑；

（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個區域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當⊙O1的半徑為多少時，該玩具的制作成本最小？

圖5

當x=4時，該玩具的制作成本最小.

點評：本題根據切線的性質以及三角函數知識，由圖形中線段間的和差關系求得扇形的半徑，根據圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數關系，然后利用二次函數的最值即可求得該玩具的最小制作成本.

這類問題命題的依據——平面幾何中線段的長度、面積的大小有其內在的聯系，這個關系可以用函數的解析式來表示；解題方法——全面觀察出幾何圖形的結構特征，挖掘出相應的內在性質，運用其性質布列出包含函數、自變量在內的等式，并轉化為函數的解析式利用配方法或頂點坐標公式方可獲解.但必須密切關注自變量的取值范圍內，嚴防頂點的橫坐標不在自變量的取值范圍內的情形，因為這時的最值不在頂點處，具體的可通過畫出函數的圖像來分析判斷.