巧合外衣下的本質(zhì)——剖析一道求解過程錯(cuò)誤的中考題

☉江蘇省興化市陳堡初級(jí)中學(xué) 唐處文

巧合外衣下的本質(zhì)
——剖析一道求解過程錯(cuò)誤的中考題

☉江蘇省興化市陳堡初級(jí)中學(xué) 唐處文

偶爾翻閱教輔材料，看到一道中考題，其求解過程錯(cuò)誤，但答案正確，現(xiàn)轉(zhuǎn)錄下來，若有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)讀者指正.

（中考題）如果a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式b2+c2=2a2+16a+14與bc=a2－4a－5，那么a的取值范圍是________.

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閎、c是為互不相等的實(shí)數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)答案只是由（2）得出a的范圍，沒有用到（1），從理論上講，這個(gè)答案是有問題的.下面我們利用高中線形規(guī)劃的知識(shí)給出解析.

先畫出（2）所表示的區(qū)域（如圖1，陰影部分所示，不包括邊界）.

圖1

圖2

顯然不等式（2）比不等式組（3）的范圍要大，因此，中考題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案，從理論上講是錯(cuò)誤的！下面給出本人的解答.

解：因?yàn)閎、c是為互不相等的實(shí)數(shù)，

解（4）（5）（6）組成的不等式組得a＞－1.

反思：運(yùn)算結(jié)果令我們大吃一驚，兩種算法答案居然一樣！為什么呢？

首先，經(jīng)過冷靜地思考我們知道，（4）（5）組成的不等式組的解與（4）（5）（6）組成的不等式組的解是一樣的，這就是答案一樣的原因！但巧合決不能掩蓋事實(shí)！否則，將以訛傳訛，混淆視聽！

其次，過程比結(jié)果更重要，過程錯(cuò)誤同樣說明此題的解答是錯(cuò)誤的！

另外，需說明一點(diǎn)，解不等式b2+c2=2a2+16a+14＞0有超綱之嫌，同樣解不等式組（4）（5）（6）也有超綱之嫌，所以此題既有難以察覺的過程錯(cuò)誤，也有不可原諒的超綱之嫌！

結(jié)束語：當(dāng)然“錯(cuò)誤”是一種寶貴的教學(xué)資源，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該搜集數(shù)學(xué)中的常見錯(cuò)誤，冷靜分析錯(cuò)誤的原因，它對(duì)學(xué)生具有特殊的教育價(jià)值.我們應(yīng)該對(duì)其進(jìn)行開發(fā)、利用，變“廢”為“寶”，讓“錯(cuò)誤”美麗起來.