對一道期中考試題的深入研究

☉上海市建平香梅中學 張安靜

對一道期中考試題的深入研究

☉上海市建平香梅中學 張安靜

對試題的研究是教師在教學和復習中經常做的一件事，通過研究把蘊含其中的數學思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質屬性.不但可以提高學生的空間想象、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，優化數學的思維品質，而且還可以培養學生探索創新的能力.本文以2012年4月紹興縣九年級數學期中調測的一道題目為例，做一些探索.

例1 如圖1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長.

小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，如圖1，她分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，得到四邊形AEGF是正方形.設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值.

（1）請你幫小萍求出x的值.

（2）參考小萍的思路，探究并解答新問題：

如圖2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4.請你按照小萍的方法畫圖，得到四邊形AEGF，求△BGC的周長.（畫圖所用字母與圖1中的字母對應）

圖1

圖2

圖3

分析：本題如果直接讓學生求解，難度較大，主要的困難在于無法把BD、CD這些條件與未知的AD集中到一個三角形中，也無法把∠BAC=45°這個條件用進去，導致學生解題困難.而通過軸對稱變換，構造出特殊圖形（正方形或正三角形）是順利解決問題的關鍵.

解：（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點分別為E、F，延長EB、FC相交于G點，得到四邊形AEGF是正方形，根據對稱的性質可得BE=BD=2，CF=CD=3.設AD=x，則正方形AEGF的邊長是x，則BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3.在直角△BCG中，根據勾股定理可得（x-2）2+（x-3）2=52，解得x=6.

點評：此題通過翻折把原三角形構建為一個新的圖形——正方形或正三角形.考查了三角形、勾股定理、正方形、正三角形、等腰三角形、軸對稱變換等知識點和方程思想、數形結合等數學思想，是初中數學中最基礎的知識和核心內容.

一、變式拓展，推陳出新

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變”.變則靈動，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學生獲取解題方法的有效通道.進行有效的試題“變式”可以鏈接不少中考試題，進一步感悟、理解問題的本質和數學思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力.

1.保持例1的框架不變，讓正方形變成梯形，并且有一個條件保持不變（45°角），讓考生運用解答中所積累的經驗和知識探究線段的長，便可以鏈接到下面一道中考試題：

例2 （2008年寧德市）如圖4，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE.

（1）求證：CE=CF；

（2）在圖4中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長.

圖4

圖5

圖6

解：（1） 在正方形ABCD中，因為BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，所以△CBE≌△CDF．所以CE＝CF．

（2）GE＝BE＋GD成立．因為△CBE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF．所以∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD，即∠ECF＝∠BCD＝90°. 又∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°．因為CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG．所以EG＝GF．所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）如圖6，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．在直角梯形ABCD中，因為AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，所以四邊形ABCD為正方形．所以AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，根據（1）（2）可知ED＝BE＋DG．設DE＝x，則DG＝x－4，所以AD＝16－x．在Rt△AED中，因為DE2=AD2+AE2，即x2=（16－x）2+82．解得x＝10．所以DE＝10．

點評：此題是例1的變式，第（1）小題實際上是對第（2）小題的提示，這樣做有助于降低思維的難度，給學生解題提供一個明確的入口，同時也為后面的問題做了一點暗示，啟發學生應將直角梯形ABCD補成正方形，再借助前面積累的經驗和知識，運用勾股定理建立方程求出DE的長.3個問題的設置不是簡單的重復，其難度不斷上升、步步深入，只有拾階而上才有可能使問題得到解決.

2.原有圖形的一些結論在圖形適當變化以后仍成立，或者做適當調整后得到類似的結論，實現對知識的遷移和能力的提升.這便演變為下列一道中考題：

例3（2011年永州市）探究問題：

（1）方法感悟：如圖7，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

（2）方法遷移：如圖8，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE、BF、EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．

（3）問題拓展：如圖9，在四邊形ABCD中，AB=AD，E、F分別為DC、BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

圖7

圖8

圖9

解：（1）將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合（如圖10），由旋轉可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，所以∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°. 因此，點G、B、F在同一條直線上．因為∠EAF=45°，所以∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．因為∠1=∠2，所以∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．又AG=AE，AF=AF，所以△GAF≌△EAF．所以GF=EF，故DE+BF=EF．

（2）DE+BF=EF，理由如下：

圖10

假設∠BAD的度數為m°，將△ADE繞點A順時針旋轉m°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，所以∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.因此，點G、B、F在同一條直線上．因為∠EAF=m°，所以∠2+∠3=△EAF．得GF=EF，又因為GF=BG+BF=DE+BF，所以DE+BF=EF．

（3）當∠B與∠D互補時，可使得DE+BF=EF．

點評：此題與前面兩題相比，由于條件不斷弱化，其難度顯然增大.但考查的立足點仍然是幾何的推理能力、轉化意識、幾何的證明等初中幾何的核心知識.第（1）小題與例1相類似；第（2）小題將Rt△ABC沿斜邊翻折得到對角互補的四邊形，其結論仍然只需對第（1）小題進行簡單的類比就可以獲得；第（3）小題是第（2）小題的逆向思維和深入思考，較易猜想.問題通過“改變條件的描述方式——互換題設的條件與結論——改變問題的背景和設問方式”來命題，體現了層層遞進、步步深入、環環相扣的思維嚴謹性，使學生在由簡單到復雜、由特殊到一般的探索中發現此數學問題中所隱含的數學規律（DE+BF=EF），感受到數學學科的美，提高數學分析能力.

二、變換圖形，探幽尋芳

1.將問題的背景設置在平面直角坐標系中，通過坐標將數和形有機結合起來，拓寬知識的認知空間和深度，達到既考查幾何問題，又滲透函數的思想與理念的目的，這便可鏈接到下面一道中考試題：

例4（2010年濟寧市）在平面直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點.現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，在旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖11）.

（1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；

（2）在旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數；

（3）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論.

圖11

圖12

（3）p值無變化.證明：如圖12，延長BA交y軸于E點，則∠AOE=45°－∠AOM，∠CON=90°－45°－∠AOM=45°－∠AOM，所以∠AOE=∠CON. 又因為OA=OC，∠OAE=180°－90°=90°=∠OCN. 所以△OAE≌△OCN.所以OE=ON，AE=CN.又因為∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，所以△OME≌△OMN.所以MN=ME=AM+AE.所以MN=AM+CN. 所以p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.所以在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化.

點評：此題是一道融幾何與代數于一體的綜合性問題，難度較大.題目立足于原題，同時做了一定的創新，以圖形的旋轉為知識的生長點，設置新穎，體現運動變化與數形結合的數學思想.通過巧妙的設置將顯性的45°轉化為y=x，從而需挖掘出∠MON=45°.3個問題由易到難，層層遞進，較好體現了知識交匯處命題的原則，有利于考查學生利用所學知識解決綜合問題的能力.

2.通過將顯性的條件適當隱性化以及幾何變換，讓學生通過比較、辨別、抽象出原圖的本質屬性，發現圖形中蘊含了豐富的“礦藏”，獲得一些“新穎”的結論，這樣便鏈接到下列一道中考題：

例5 （2011年咸寧市）（1）如圖13，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數.

圖13

圖14

（2）如圖14，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M、N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由.

（3）如圖15，連接BD分別交AE、AF于點M、N，若EG=4，GF=6，BM=，求AG，MN的長.

圖15

（2）MN2=ND2+DH2.因為∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，所以∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.所以∠HAN=∠MAN.又因為AM=AH，AN=AN，所以△AMN≌△AHN.所以MN=HN.因為∠BAD=90°，AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=45°.所以∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.所以NH2=ND2+DH2.所以MN2=ND2+DH2.

點評：此題沿著“立足原題，發掘隱含條件，豐富結論，考查能力”的思路，提出了3個小問題，引領學生進行自主性、研究性的學習與探索，讓學生感悟它們之間內在的相互聯系，優化思維過程，完善認知結構.此題通過3個問題的思考與研究，給學生營造一個“再發現”、“再創造”的探究氛圍，在思考的過程中感受數學知識的產生、發展過程，讓學生在潛移默化中學會發現、提出和解決問題，學會研究數學的方法，學會數學的思考，激發學生的學習興趣，提高學生自主探究的積極性.

三、立足原題，提煉本質

不少試題實際上是具有一般結論的命題，在解答問題答案之后，如果引導學生及時將試題的結論進行更深層次探究、抽象、概括、拓展、總結成公式并加以應用，不但可以激發學生主動探索的欲望，培養學習數學的興趣，而且還可以提高學生類比聯想以及分析、處理問題的能力.

如圖16，設E、F為正方形邊BC、CD上的點，則下列命題等價：（1）∠EAF=45°；

（2）△ECF的周長等于正方形ABCD周長的一半；

圖16

（以上結論請讀者自己思考證明）

本文以一道期中試題為背景出發，通過變式拓展，推陳出新；變換圖形，探幽尋芳；立足原題，提煉本質，將問題合理演化，凝題成鏈，織題成網.有效培養了學生思維的靈活性、廣闊性、創新性，促進學生良好的解題思維品質養成.