略談與圓有關的計算問題——解“陰影部分面積問題”的策略

☉江蘇省海門市三陽初級中學 黃裕梅

略談與圓有關的計算問題
——解“陰影部分面積問題”的策略

☉江蘇省海門市三陽初級中學 黃裕梅

近幾年與圓有關的計算中考題，不斷地出現在各種新穎的求陰影部分面積的試題中，如何讓學生把握好讓人“眼花繚亂”的圖形？如何讓學生掌握好解題的技巧？本文結合自己的分析與總結，與大家共勉.

一、數學思想的滲透是基礎

求陰影部分面積的題目中，有的可以直接求解，但是更多的是無法直接求解，需要我們對問題的條件、結論進行轉化、變形，使之符合基本圖形的條件和結論.

因此，在解答“陰影部分面積問題”時，務必樹立：（1）基本圖形模型意識，為解決問題確立目標；（2）轉化思想意識，為解決問題提供途徑.以此為指引，為方法的尋找打下扎實的基礎.

二、數學方法的提煉是工具

1.圖形割補法

例1 （2012年山西）如圖1是某公園的一角，∠AOB=90°，弧AB的半徑OA長是6m，C是OA的中點，點D在弧AB上，CD∥OB，則圖中休閑區（陰影部分）的面積是（ ）.

點評：通過“補”，把陰影部分圖形轉化成兩個基本圖形的差.在解決問題的過程中，也可通過“割”，就是把一個復雜圖形分割成若干個簡單的基本圖形的和.當然兩者結合也可以.

2.等積變換法

點評：根據圖形的面積相等，把不規則圖形轉化為與其面積相等的規則圖形.

3.圖形變換法

例3 （2012年山東）如圖5，正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖6，最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1______S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）.

圖5

圖6

點評：化分散為集中是本題解決的策略，通過旋轉、平移、翻折等手段可以轉化為規則圖形的計算.

4.整體思想法

例4 （課本習題）如圖7，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑均為0.5，求圖中三個陰影部分的面積之和.

圖7

點評：由于三角形的內角和為180°，所以三個陰影扇形的圓心角的和為180°，由于它們的半徑都為0.5，因此可根據扇形的面積公式直接求出三個扇形的面積和.

5.規律法

例5（2008年株洲）如圖8中每個陰影部分是以多邊形各頂點為圓心，1為半徑的扇形，并且所有多邊形的每條邊長都大于2，則第n個多邊形中，所有扇形面積之和是.（結果保留π）

圖8

四邊形內角和為360°，則陰影面積為π；

點評：先找圓心角的變化規律，得出第n個多邊形中，所有扇形面積之和等于圓心角為（n-2）×180°、半徑為1的扇形的面積.

6.覆蓋法

例6（課本習題）已知正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則所圍成的陰影部分（如圖9）的面積是_________.

圖9

點評：觀察圖形，找出它是由那些規則的幾何圖形覆蓋形成，找出問題的突破口.

綜上，在計算陰影部分的面積問題時，首先判斷是否是規則圖形，如果是，就利用所學的圖形面積公式計算；如果不是規則圖形，以上各法使之轉化為求規則圖形的面積或和、差.

三、數學策略由教會轉化為學會是關鍵

解決“陰影部分面積問題”的方法有很多，關鍵在于讓學生掌握此類問題解題策略，關鍵在于教會學生如何發現解題方法，關鍵在于教會學生如何根據問題靈活選擇解題的方法.因此平時的教學中，在問題解決的過程中，讓學生養成一種思維的習慣與探究的態度，讓學生在數學思想的引導下，學會分析與觀察，學會尋找問題解決的途徑，體會數學學習的幸福感，使學生的解題能力得到更深層次的發展.