相似三角形等積式問題證明“三部曲”

☉廣東省深圳市南山區第二外國語學校 何小波

等積式證明問題是初中平面幾何的重要內容，它涉及的知識內容廣泛，有利于培養學生綜合運用知識的能力.等積問題綜合性強，類型繁多，涉及面廣，難度大，加之許多學生由于基礎知識不牢，不善于歸納總結，結果在解決等積問題時不能靈活運用，感覺問題的分析困難，甚至是無從下手，望而生畏.為此，筆者總結提出了等積式問題證明的“三步曲”.所謂“三步曲”是指在證明等積問題時，首先考慮把等積問題化為等比問題，然后證明相關的三角形相似.其次，在無法證明三角形相似時，可用問題中所蘊含的與等比中某一線段相等的線段或相等的比值來代替.最后，若無法找到相應的等線段或等比時則通過平行線成比例線段這一相關性質找相應的比值.下面結合一些具體的實例進行分析.

1.等積式化比例式，橫找豎找找相似

遇到等積問題時，首先把等積化為等比的形式，然后考慮證明兩個三角形相似.

例1 如圖1所示，在△ABC中，高線AD、CE交于點O.求證：OC·BD=AB·OD.

證明：因為AD，CE是△ABC的高線，

所以∠EAO+∠AOE=∠DCO+∠COD.

因為∠AOE=∠COD，

所以∠EAO=∠DCO.

因為∠ADB=∠ODC，

所以△OCD∽△BAD.

評注：由于比例的性質——比例的內項或外項可以交換位置，所以在根據比例式尋找相應的相似三角形時，需橫找或豎找（從比例式的分子線段或分母線段中找相應的三角形）.

2.相似若是不好找，等量代換試一試

若在化成比例式后，不能通過直接找兩個三角形相似來實現等積的證明，此時可通過查找問題中所隱含的相等的線段或相等比值的條件，用等線段或相等的比值來代替比例式中的相關量，再在此基礎上通過找三角形相似來證明等積問題.

例2 如圖2，?ABCD中，E為邊AD延長線上的一點，BE交CD于F.試證明：CD·BC=AE·FC.

證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以∠A=∠C，AB=CD，AD∥BC.

所以∠CBF=∠AEB.

又因為AB=CD（已證），

圖3

例3 如圖3，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于點F.求證：AB·AF=AC·DF.

證明：（略）.

評注：在證明比例式時，如果直接證明或等量代換有困難時，則可以考慮等比代換或等積代換，利用中間比（積）過渡.

3.平行線段轉比例，兩端各自拉關系

證明等積時，在無法證明兩個三角形相似且又無法找到問題中所蘊含的等線或相等的比值時，可進行觀察，看看問題中是否含有平行的條件，可借助平行線成比例的有關性質來查找問題所含的相等的比值.

圖4

例4 如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中點，直線DE分別與對角線AC，直線BC相交于M和N求證：MD·NE=ME·ND.

由圖中無法直接找到相關的三角形相似，也沒有相等的線段.

這時需要考慮用第三個比例式來過渡搭橋.緊扣條件中的AB∥DC，由平行線分線段成比例定理發現兩式中唯一不同之處僅在于AE、BE，而已知條件中明確了E是AB的中點，即AE與BE是相等的，從而再借助這一等價關系可得進而證明

評注：“等積式化比例式，橫找豎找找相似；相似若是不好找，等量代換試一試；平行線段轉比例，兩端各自拉關系”的解題思路，僅僅是等積問題眾多證明思路中的一種.等積問題千變萬化，不同的等積問題仍需要進行具體的分析，選擇恰當的方法.相信只要在等積問題的證明過程中不斷摸索，不斷總結，就能找到一種比較適用的證明方法和證明技巧.