初中數(shù)學對稱性解題方法探討

☉廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學 譚煒東

1.引言

20世紀德國著名數(shù)學家赫爾曼·外爾說過：“對稱是一個廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大，數(shù)學則是它的根本.”初中數(shù)學題目中有不同類型的對稱，像代數(shù)中，有對稱多項式、對稱方程式、對稱恒等式、對稱不等式等；而幾何中，有等腰三角形、正方形、平行四邊形、圓柱、球等軸對稱圖形和中心對稱圖形.不僅如此，在一些數(shù)學問題中還會潛在涉及到對稱，像數(shù)學題目中往往存在關(guān)系、邏輯、位置等的對稱.在分析、解決與對稱相關(guān)的數(shù)學題時，就可以運用對稱思想來解題，不僅可以避免思路、步驟的煩瑣，使解題又快又簡，還能發(fā)散學生的思維，提高學生的動腦能力.

2.對稱思想

數(shù)學中的對稱法，就是依據(jù)對稱原理，應用抽象或者形象思維，建立具有對稱特點的數(shù)學模型、幾何圖形或者代數(shù)表達式，在代數(shù)和幾何解題中發(fā)揮著重要的作用.古希臘的雕塑家波利克里托斯在公元前五世紀最早提出了對稱這個名詞，后來畢達哥拉斯、弗賴、赫爾曼·外爾、徐一鴻等都從不同角度給出了各自的解釋.

數(shù)學中的對稱一般是指代數(shù)對稱和幾何對稱.偉大的數(shù)學家泰勒斯在公元前就提出了“圓的直徑將其平分”、“等腰三角形的兩個底角相等”等，這在我們目前的初中數(shù)學中已經(jīng)是作為定理來使用的，但是在公元前泰勒斯就意識到這種對稱的思想，并且用論證的方法證明這些命題的正確性.我國的張奠宙教授就從對稱的視角出發(fā)，列舉了中學數(shù)學中關(guān)于對稱的例子，像（a+b）n=a·n+b·n，a+b=b+a等.

3.對稱法在初中數(shù)學解題中的應用

目前，在代數(shù)和幾何的解題過程中，都運用了大量的對稱思想.下面就初中數(shù)學中比較典型的對稱問題進行解釋分析，探討如何在代數(shù)和幾何解題中運用對稱思想的.

3.1 對稱法在代數(shù)中的應用

（1）運用對稱求最值

例1 已知a>0，b>0，且z=ab，則當a+b=2時，求z的最大值.

分析：首先尋找解題的關(guān)鍵點.本題中的關(guān)鍵就是條件a+b=2，a與b的和是一個定值，那么就會想到當a大時，b就小；b大時，a就小；或者a、b是相等的，即a、b在關(guān)系上是對稱的.其次，尋找到解題點后，就開始思考如何能恰當?shù)乩胊、b的對稱來解題.因為a、b的和是2，那么讓a=1-r，則b=1+r，這樣就能合理應用a、b的對稱性.最后，z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2，而r2是永遠大于等于零的，所以只有r=0的時候，z的值最大，z=1.

解：設(shè)a=1-r，b=1+r，所以z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2.

而r2≥0，所以z=1-0=1，可知z的最大值是1.

（2）運用對稱證明不等式

例2 已知0

分析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)這個式子有對稱存在，所以要證明整個不等式成立，只需要證明或者即只需要證明其中一個式子成立即可.接下來考慮怎么創(chuàng)設(shè)條件，證明成立.

3.2 對稱法在幾何中的應用

圖1

（1）運用對稱證明兩個角之間的關(guān)系

例3 如圖1，AD是銳角三角形ABC的高，其中AB+BD=CD，求證∠B=2∠C.

分析：這個證明題中，只有AB+BD=CD和AD是高這兩個條件，那么可以思考是否能根據(jù)對稱創(chuàng)設(shè)另一個關(guān)于線段的關(guān)系，可以相互替代，從而證明角之間的關(guān)系，并且∠B和∠C也能聯(lián)系起來.因此，可以考慮做AB關(guān)于高AD的對稱線AE，創(chuàng)建一個軸對稱圖形，那么AB=AE，則可以知道AE+BD=CD.又因為軸對稱，所以BD=DE，因此，AE+DE=CD，所以AE=EC，進而得出∠EAC=∠C，∠AEB=2∠C.最終∠B=2∠C的結(jié)論就可以成立了.

圖2

（2）運用對稱求代數(shù)幾何相結(jié)合的問題

例4 如圖2，在△ABC中∠A=90°，點D為BC中點，點E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=90°，試說明：BF2+CE2=EF2.

分析：要求證明三角形中邊的關(guān)系，并且三條邊不在一個三角形中，因此，考慮如何創(chuàng)設(shè)一個三角形，并且利用邊角的關(guān)系來證明.如圖2，延長FD，作FD=DG，又因為BD=CD，可以發(fā)現(xiàn)三角形BDF和三角形CDG全等，所以GE=EF，BF=CG，進而再通過直角三角形中角的關(guān)系，證明ECG是個直角三角形，最終就可以證明結(jié)論的成立.

4.結(jié)論

綜上所述，在數(shù)學解題過程中如果合理的使用對稱法，不僅可以使問題得到簡化，還能發(fā)散學生的思維，提高學生的創(chuàng)造力.因此，教師在平時的教學中，要重視和提高學生對稱性思維解題的能力.