初中數(shù)學(xué)對稱性解題方法探討

☉廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學(xué) 譚煒東

1.引言

20世紀(jì)德國著名數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾說過：“對稱是一個廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大，數(shù)學(xué)則是它的根本.”初中數(shù)學(xué)題目中有不同類型的對稱，像代數(shù)中，有對稱多項(xiàng)式、對稱方程式、對稱恒等式、對稱不等式等；而幾何中，有等腰三角形、正方形、平行四邊形、圓柱、球等軸對稱圖形和中心對稱圖形.不僅如此，在一些數(shù)學(xué)問題中還會潛在涉及到對稱，像數(shù)學(xué)題目中往往存在關(guān)系、邏輯、位置等的對稱.在分析、解決與對稱相關(guān)的數(shù)學(xué)題時，就可以運(yùn)用對稱思想來解題，不僅可以避免思路、步驟的煩瑣，使解題又快又簡，還能發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的動腦能力.

2.對稱思想

數(shù)學(xué)中的對稱法，就是依據(jù)對稱原理，應(yīng)用抽象或者形象思維，建立具有對稱特點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型、幾何圖形或者代數(shù)表達(dá)式，在代數(shù)和幾何解題中發(fā)揮著重要的作用.古希臘的雕塑家波利克里托斯在公元前五世紀(jì)最早提出了對稱這個名詞，后來畢達(dá)哥拉斯、弗賴、赫爾曼·外爾、徐一鴻等都從不同角度給出了各自的解釋.

數(shù)學(xué)中的對稱一般是指代數(shù)對稱和幾何對稱.偉大的數(shù)學(xué)家泰勒斯在公元前就提出了“圓的直徑將其平分”、“等腰三角形的兩個底角相等”等，這在我們目前的初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)是作為定理來使用的，但是在公元前泰勒斯就意識到這種對稱的思想，并且用論證的方法證明這些命題的正確性.我國的張奠宙教授就從對稱的視角出發(fā)，列舉了中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于對稱的例子，像（a+b）n=a·n+b·n，a+b=b+a等.

3.對稱法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

目前，在代數(shù)和幾何的解題過程中，都運(yùn)用了大量的對稱思想.下面就初中數(shù)學(xué)中比較典型的對稱問題進(jìn)行解釋分析，探討如何在代數(shù)和幾何解題中運(yùn)用對稱思想的.

3.1 對稱法在代數(shù)中的應(yīng)用

（1）運(yùn)用對稱求最值

例1 已知a>0，b>0，且z=ab，則當(dāng)a+b=2時，求z的最大值.

分析：首先尋找解題的關(guān)鍵點(diǎn).本題中的關(guān)鍵就是條件a+b=2，a與b的和是一個定值，那么就會想到當(dāng)a大時，b就小；b大時，a就小；或者a、b是相等的，即a、b在關(guān)系上是對稱的.其次，尋找到解題點(diǎn)后，就開始思考如何能恰當(dāng)?shù)乩胊、b的對稱來解題.因?yàn)閍、b的和是2，那么讓a=1-r，則b=1+r，這樣就能合理應(yīng)用a、b的對稱性.最后，z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2，而r2是永遠(yuǎn)大于等于零的，所以只有r=0的時候，z的值最大，z=1.

解：設(shè)a=1-r，b=1+r，所以z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2.

而r2≥0，所以z=1-0=1，可知z的最大值是1.

（2）運(yùn)用對稱證明不等式

例2 已知0

分析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)這個式子有對稱存在，所以要證明整個不等式成立，只需要證明或者即只需要證明其中一個式子成立即可.接下來考慮怎么創(chuàng)設(shè)條件，證明成立.

3.2 對稱法在幾何中的應(yīng)用

圖1

（1）運(yùn)用對稱證明兩個角之間的關(guān)系

例3 如圖1，AD是銳角三角形ABC的高，其中AB+BD=CD，求證∠B=2∠C.

分析：這個證明題中，只有AB+BD=CD和AD是高這兩個條件，那么可以思考是否能根據(jù)對稱創(chuàng)設(shè)另一個關(guān)于線段的關(guān)系，可以相互替代，從而證明角之間的關(guān)系，并且∠B和∠C也能聯(lián)系起來.因此，可以考慮做AB關(guān)于高AD的對稱線AE，創(chuàng)建一個軸對稱圖形，那么AB=AE，則可以知道AE+BD=CD.又因?yàn)檩S對稱，所以BD=DE，因此，AE+DE=CD，所以AE=EC，進(jìn)而得出∠EAC=∠C，∠AEB=2∠C.最終∠B=2∠C的結(jié)論就可以成立了.

圖2

（2）運(yùn)用對稱求代數(shù)幾何相結(jié)合的問題

例4 如圖2，在△ABC中∠A=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=90°，試說明：BF2+CE2=EF2.

分析：要求證明三角形中邊的關(guān)系，并且三條邊不在一個三角形中，因此，考慮如何創(chuàng)設(shè)一個三角形，并且利用邊角的關(guān)系來證明.如圖2，延長FD，作FD=DG，又因?yàn)锽D=CD，可以發(fā)現(xiàn)三角形BDF和三角形CDG全等，所以GE=EF，BF=CG，進(jìn)而再通過直角三角形中角的關(guān)系，證明ECG是個直角三角形，最終就可以證明結(jié)論的成立.

4.結(jié)論

綜上所述，在數(shù)學(xué)解題過程中如果合理的使用對稱法，不僅可以使問題得到簡化，還能發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的創(chuàng)造力.因此，教師在平時的教學(xué)中，要重視和提高學(xué)生對稱性思維解題的能力.