關于中考數學復習題選編的探究

☉廣東省珠海市斗門區六鄉中學 郭高祥

中考復習，時間緊，容量大，任務重，如何做到既能全面系統的復習，又能提高學生的綜合能力，要在短期內達到這一目的，采用什么樣的復習措施將直接影響到復習的效果和學生最終的中考成績.教師在選編復習題時要抓住課本的一些典型的例題或者是有針對性的復習資料（如往年中考題），進行加工，使學生對系統的數學知識進行復習，形成有效的思維方法，提高靈活運用知識和綜合解決問題的能力.

一、選編知識覆蓋面大的復習題鞏固基礎知識

中考復習不應是教材知識的簡單再現，復習題的選編既要考慮知識的覆蓋面要廣、突出重點，又要有利于強化基礎知識、基本技能和基本的數學思想方法的綜合應用.教師要善于選取各省市中考試題進行整合，事實證明大部分的中考題都是各省市有經驗的教師精心編制的題目，對知識的考查都是全方位的，在復習階段對學生進行有針對性的訓練有利于提高學生對基礎知識的掌握.例如選取某份中考卷的試題的前面三大題重新整合一份課前訓練試題，但不宜全盤照搬，最好是難度不宜太大，照顧學生的自信心.

例1基礎知識訓練.（以2011年廣東中考題為例）：

3.按下面程序計算：輸入x=3，則輸出的答案是_______________.

4.如圖1，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C.若∠A=40°，則∠C=_____.

圖1

二、選編具有開放性的復習題培養學生創新能力

開放性題型的教學，在近幾年來，隨著實踐的開展，它的效用已經被廣泛地得到證明，有利于學生的創新精神的培養和實踐能力的形成.

例2 如圖2，已知AB∥CD，AC與BD相交于O，試問：當加上什么條件時，可以證明該四邊形是一個平行四邊形？

圖2

分析：聯系判定一個四邊形是平行四邊形的條件有：

（1）定義；兩組對邊分別平行的四邊形.

（2）判定：兩組對角相等；兩組對邊相等；

兩條對角線互相平分；一組對邊平行且相等.

因此，根據題目的已知條件可有選擇地添加條件，這樣既復習了平行四邊形的有關知識又發散了學生的思維.本題有許多答案如：①BC∥AD；②AB=CD；③∠A+∠B=180°；④∠C+∠D=180°；⑤OA=OC，OB=OD；⑥∠A=∠C，∠B=∠D；⑦∠BCA=∠DAC等.

三、選編的復習題要注重學生發散思維和探索問題能力的培養

著名數學家波利亞說過：“一個專心認真備課的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”教師在教學中要引導學生通過一題多解，一題多變培養思考問題的靈活性、開拓性、多向性和創造性.

（1）通過一題多解培養學生的發散思維能力：思維是能力的核心，觀察是思維的外殼，應變是技巧的法寶.一道題目，通過仔細觀察分析，理清關系，從多角度去思考探究，不僅拓展了學生的思維空間，而且培養了學生的發散思維能力.

例3 如圖3，已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過A、D、E三點，求該圓半徑的長.

分析一：根據多邊形由等邊三角形和正方形組成，可利用它們的性質，想到垂徑定理來求解.

圖3

圖4

解法一：如圖4，作AF⊥BC，垂足為F，并延長交DE于H點.

因為△ABC為等邊三角形，

所以AF垂直平分BC.

因為四邊形BDEC為正方形，

所以AH垂直平分正方形的邊DE.又DE是圓的弦，所以AH必過圓心.記圓心為O點，并設⊙O的半徑為r.

所以該圓的半徑長為2.

分析二：根據多邊形由等邊三角形和正方形組成，而它們的邊長相等，可利用平移的性質和想象A、D、E三點確定一圓.

解法二：如圖5，將等邊△ABC向下平移得等邊△ODE，其底邊與DE重合.

圖5

因為A、B、C的對應點是O、D、E，

所以OD=AB，OE=AC，AO=BD.

因為等邊△ABC和正方形BDEC的邊長都是2，所以AB=BD=AC=2.

所以OD=OA=OE=2.

因為A、D、E三點不在同一直線上，

所以A、D、E三點確定一圓.

因為O到A、D、E三點的距離相等，

所以O點為圓心，OA為半徑.

所以該圓的半徑長為2.

分析三：從解法2得到啟示，當△ODE是等邊三角形時OD=DE=2該圓的半徑長可求.

解法三：如圖6，作出圓心O，并連接OD，OE，AD，AE.

因為等邊△ABC和正方形BDEC，

所以∠DBC=90°，∠ABC=∠BAC=60°，AB=BD.

圖6

所以∠ABD=150°，可得∠BAD=15°

同理：可得∠CAE=15°，∠DAE=30°，

∠DOE=2∠DAE=60°.

又因為OD=OE，所以△ODE是等邊三角形.所以OD=DE=2，可得該圓的半徑長為2.

從上面問題的解決中可看出，對于一個問題，從不同的角度出發，可以得到不同的解題思路，通過一題多解，我們學會的不僅僅是解題，更重要的是對概念有了更深刻的理解.

（2）通過一題多變培養探索問題的能力：思維的創造性表現在抓住事物的規律與本質，能夠深入地分析思考問題，進而把握對象的本質.復習課中，教師要精心選編課本的典型例題進行一題多變，教師要對數學概念、性質、判定方法、課本習題、幾何作圖方法等內容通過整合，啟發學生從多角度、多方面、多層次探究，進行創造性地學習.

例4 （人教版八年級上冊教材P58第11題）如圖7，△ABD和△AEC都是等邊三角形.求證：BE=DC.

圖7

分析：證明△ABE和△ADC全等，從而得BE=DC.

變化1 如圖7，△ABD和△AEC都是等邊三角形.BE與DC有什么關系？你能用旋轉的性質說明上述關系成立的理由嗎？

（人教版九年級上冊教材P61第10題）

分析：證明△ABE是由△ADC以A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到，△ABE和△ADC全等從而得BE=DC.

變化2 如圖8，△ABC和△DEC都是等邊三角形.

△EBC可以看成是△DAC經過平移、軸對稱或旋轉得到的，

說明得到△EBC的過程.（人教版九年級上冊教材P75第5題）

分析：解法類同變化1，不再贅述.

圖8

圖9

變化3 如圖9，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得三角形試判斷△BMN的形狀，并說明理由.

分析：本題中求得BM=BN是解題的關鍵.首先證明△ABE≌△DBC，可得到能使△ABM≌△DBN的條件，即可求得BM=BN.

根據∠MBN=60°即可求得△BMN為等邊三角形（解略）.

變化4 （2011年廣東梅州）如圖10，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD.

（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，求AP的值.（直接寫結果）

（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由.

（3）如圖11，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

分析：本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質.正確證明兩個三角形全等是解題的關鍵.此題正是來源于前面的習題，學生也會覺得很親切.

（1）當P是AB的中點時，兩個三角形的面積的和最小，可以設AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數的性質即可求得x的值

當x=a時面積S取最小值.

（2）首先證明△APD≌△CPB，然后根據三角形的外角的性質即可求解.

（3）旋轉的過程中，由（2）中得兩個三角形的全等關系不變，因而角度不會變化.

解：（1）a.（2）α的大小不會隨點P的移動而變化.

理由：因為△APC是等邊三角形，所以PA=PC，∠APC=60°.

因為△BDP是等邊三角形，所以PB=PD，∠BPD=60°.所以∠APC=∠BPD.

所以∠APD=∠CPB.所以△APD≌△CPB.

所以∠PAD=∠PCB. 因為∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°-120°=60°.

（3）此時α的大小不會發生改變，始終等于60°.

從以上對中考數學復習的選題的探究來看，通過教師對教學內容的精心設計和整合，通過探究選編復習題可以在做好中考復習的同時也更好地激活學生的潛能，體現學生是學習的主人，教師是教學的組織者、引導者與合作者，實現不同的學生有不同的發現，體現不同的學生學習不同的數學，讓每個學生在數學上都得到不同的發展，.

1.數學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2001.

2.數學（八、九年級上冊教材）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

3.王麗娟.數學課堂審題教學觀察與思考［J］.中學數學教學參考，2011（4）.

4.高峰.深度挖掘異彩紛呈——對一道課本習題的探究［J］.中學數學教學參考，2011（11）.