數學課堂教學中教師的引導策略

☉四川省宣漢縣中小學教學研究室 趙緒昌（特級教師）

葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機引導.”關于“引導”一詞，《現代漢語詞典》中與教學語境更為貼切的解釋是“指引；誘導”.“引”的含義是指引，指引須是有目標、有方向的，但指引可能只是提醒或提示；“導”的含義是誘導，使用一定的教學方法或手段激發學生的數學思考，深化學生的數學理解.教學中的“引導”，其本意是“以明確的教學目標為指引，通過有效的教學方法或手段激發思考，深化理解”.在數學課堂教學中，教師應注意通過提問、講解、歸納、示范等教學活動，引導每一個學生參與學習活動，做到自然——順勢而為、及時——因時而動、具體——切中肯綮、有序——循循善誘、深入——別有洞天，從而提高課堂教學效益.下面舉例說明，以期拋磚引玉.

一、自然——順勢而為

自然，是指教師根據學生的實際需要，順應教學發展的線索，不露痕跡地加以引導，使學生在不知不覺中對問題的思考更加深入，理解更加到位.王尚志教授曾經精辟地說：“好教師幫助學生會不露痕跡，學生還以為是自己想出來的.”引導自然，貴在順勢而為.即關照教學目標達成之勢，順應學生認識狀態之勢，揣摩學生思維發展之勢，通過肯定的評價、委婉的否定、或明或暗的提示，引導學生對問題的認識走向深入.自然的引導不是刻意強加給學生的，而是學生在當時的狀態下就“應該那樣”.自然的教學狀態是本真的教學狀態，看似平淡無奇，實則意境深遠.

案例1“三角形全等判定公理（一）”的教學片斷

師：上節課我們學習了全等三角形的定義，請同學們說一說全等三角形的定義和數學表達式.

生：如果將兩個三角形的圖形放在一起，兩個三角形重合，那么稱這兩個三角形全等.

生：數學表達式是△ABC≌△A′B′C′.

師：從上面幾個同學的敘述中思考一下，判斷兩個三角形全等需要邊或角的幾對元素？

生：需要六對元素.

師：哪六對元素？

生：三對角和三對邊.

生：老師，我認為有可能不用六對元素.

師：你認為可能用幾對元素？

生：可能是少于六對元素.

師：這位同學回答得很好.同學們，在科學研究中，許多重要的科學發明就是科學家們敢于思考想出來的.希望同學們在學習中要敢想、敢做，那么我們也可能有所作為，有所發現.上述問題，請同學們猜想一下，判斷兩個三角形全等至少要幾對元素？

（學生討論，小組交流，大約5分鐘）

生：兩邊一角.

生：兩角一邊.

生：三對邊.

師：同學們把證明三角形全等的元素都找出來了，即需要三對元素，一共是三種情況可以判定兩個三角形全等.今天我們只討論一種情況，即兩邊一角.下面我們來討論大家剛才的猜想是否合理.請同學們思考一下，兩邊一角有幾種情況？

教學隨想案例中，教師給學生提供了探究三角形全等的空間，學生在探究中深入思考，在思考的過程中憑經驗感覺判定三角形全等可能不必用六對元素.在課堂中，老師總是處于引導者的狀態，對學生的探究問題不是急于肯定或否定，而是引導學生去探究，在探究的過程中去尋求答案，這充分體現了學生的參與、師生的合作，這樣，既肯定了學生有意義的想法，又自然地引導學生對問題展開進一步的思考.

二、及時——因時而動

及時，是指教師敏銳地捕捉學生認識和思維展開的最佳時機，果斷地加以引導，以有效地推進教學走向深入.在一節課的幾十分鐘時間里，總有一些時間段或時間點對于學生的學習是比較關鍵和重要的，教師要注意關注學生的外在表現，分析學生的內在思維活動，把握時機，有效引導.引導及時，意在因時制宜，果斷行動.教學中的“時”可能是學生學習缺乏興趣、學習困惑不解、學習出現錯誤、思維偏離方向、問題理解膚淺以及課堂出現意外等.教師需要審慎地分析教學中的“時”，該出手時就出手.

案例2“反比例函數圖像與性質”的教學片斷

師：觀察課本反比例函數y＝2/x，y＝4/x，y＝6/x的圖像，你能發現它們的共同特征嗎？當k＝－2、－4、－6時，反比例函數y＝k/x的圖像有哪些共同特征？

生：當k＞0時，圖像位于第一、三象限，y隨x的增大而減少；當k＜0時，圖像位于第二、四象限，y隨x的增大而增大.

師：你們是怎樣得到的？

生1：特值法.

生2：圖像法.

生1：利用函數圖像的性質，因為2＞－1＞－3，所以y3＞y2＞y1.

師：為什么結論不一樣呢？

（一石激起千層浪.經過大家的討論，學生找到了問題的癥結：剛才總結的反比例函數性質少了“在每一象限內”這個前提條件.）

教學隨想當學生思維出軌后，老師沒有過多的評價，而是出示一個陷阱問題，巧妙地引導學生不知不覺地步入到美妙的數學思考世界，消除了困惑，改正了錯誤，形成了正確的結論.如果沒有教師的適時引導，取而代之的是直接回應，其效果會大打折扣.這種無痕的引導，充分彰顯了上課教師的教學機智.

三、具體——切中肯綮

具體，與籠統、模糊等詞語相對，是指教師要善于從學生認知的視角去思考和引導，關注教學內容的細節層面，幫助學生更好地認識和理解數學.在教學一個新的數學內容時，教師應結合具體實例對數學內容做出解釋，深入細節層面對學生的認識加以引導，以幫助學生更好地認識抽象的數學內容與方法.在實際教學中，我們有時會感覺學生對某些問題的認識不夠清晰，原因可能就與教師對問題的引導不夠具體有關.如果教學不能具體到學生的認知細節，則可能導致學生的認識似懂非懂，模棱兩可.

案例3“線段長度的比較”的教學片斷

師：教師把學生1請到講臺上來（和老師并排站），好，同學們，你們看我們倆誰高？

生：（異口同聲）老師高！

師：（問這位女同學）你告訴大家你多高？

生：1.66米.

師：可是老師才1.63米呀？

生：（往老師腳上瞅）哦，老師穿高跟鞋.

師：那該怎樣比呢？

生：把鞋脫掉，站一塊比.

師：能說具體點嗎？

生（眾）：老師和生1都應該把鞋子脫掉站在同一起點一塊比才能比出高低.

師：哦，鞋，老師就不脫了.大家明白了要比較長短高低首先要在同一起點上，是不是？

生：是的，應該這樣！

教學隨想案例中，這位教師通過創設生活情境進行引導，引起學生的認知沖突與求索的興趣，抓住了本節課知識的關鍵.看似簡單、平常的一問一引，確是課堂的點金之筆，蘊含著智慧，孕育著深刻，點亮了學生的思維火花，引發了學生的深入思考，解決了教學的難點，使課堂成了一方智慧飛揚的天地.

四、有序——循循善誘

有序，是指教師的引導需要綜合考慮數學知識發展的邏輯順序與學生認知序列，在此基礎上確定教學逐步展開的思路.一般而言，教師比較注意研究并把握數學知識發展的邏輯順序，但對學生認知序列的研究不多.因此，要從學生怎樣學，怎樣學效果更好的角度思考如何引導，使知識發展的邏輯順序與學生的認知序列相契合，促進學生的認識逐步走向深入.有序引導關照了數學知識本身的邏輯性和學生認知發展的階段性要求，因而是教師引導時必須遵循的原則.如果教師的引導邏輯混亂、層次不清，將不利于學生經歷數學知識發生、形成和發展的過程，也不利于學生數學思維的發展.

案例4（教學實錄）“梯形輔助線的引法及作用”的教學片斷

師：我們研究梯形問題的基本思想是什么？

生：（紛紛舉手）轉化.

師：通過什么途徑來實現某種轉化呢？

生（合）：添設梯形的輔助線.

師：請大家思考一下，梯形輔助線有幾種？

（學生開始邊思考邊在練習本上畫著，教師觀察學生表情，發現一些學生已經想好.）

師：誰能到黑板上畫出你引的輔助線？

（有兩名學生到黑板上來畫出自己的輔助線，過了一會兒，又有兩名學生到黑板上來，黑板上共畫出五種輔助線.有連對角線、平移腰等）

師：請同學們思考一下，上面四位同學是怎么想的？他們所畫的每一條輔助線有什么作用呢？大家將研究結果整理一下，然后小組交流.

（學生興致很高，教師巡視，并參與到學生的討論中）

師：全班交流.

（學生個個興高采烈，爭先恐后到黑板前面來交流）

師：剛才同學們說得都非常好，祝賀大家能想到這些添設輔助線的思路，在以后的學習中，大家一定要敢說、敢試、敢做，敢于與眾不同……

教學隨想案例中，通過教師的引導，師生之間、學生之間的思維活動都得到了充分交流，相互啟發、相互補充、相互評價的過程，使學生體會到了一個問題的探究是怎樣有序深入地進行的.通過仔細推敲，深入探究，把潛藏的基本思路、基本規律發掘出來，把教材的思維過程、教師的思維過程、學生的思維過程展示出來，無疑培養和提高了學生的數學思維品質，使學生學會學習，學會思考，學會創造.

五、深入——別有洞天

“問之不切，則聽之不專，聽之不專，則其取之不固”.深入，是指教師在分析學生現有知識經驗的基礎上，通過引導使學生對知識的理解更進一步，對問題的思考更深刻一些.課堂上，教師適當的深層次引導，在學生思考粗淺處引一引、導一導，引領學生去探索，能激發、啟迪學生思維和想象，將學生的思維一步一步、循序漸進地深入下去.

案例5“勾股定理”的教學片斷

勾股定理：直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即如果a、b為直角三角形的兩條直角邊長，c為斜邊長，則a2+b2=c2.定理揭示后，一位教師對定理進行變式教學與拓展應用.

引導1：對表達式的直接變形（在此不再贅述）.

引導2：由原始圖形（如圖1（1））變化得到相應結論：

①如圖1（2），將直角邊CB繞C點按逆時針方向旋轉一定的角度到CB1，連結AB1，顯然△ACB1是銳角三角形，此時a2+b2＞c2.

②如圖1（3），將直角邊CB繞C點按順時針方向旋轉一定的角度到CB1，連結AB1，顯然△ACB1是鈍角三角形，此時a2+b2＜c2.

圖1

引導3：對表達式變形后與銳角三角函數產生聯系.

將a2+b2=c2的等號兩邊同除以c2，有由此聯想到銳角三角函數中的公式sin2α+cos2α=1.（這是浙教版《數學》九年級（下）的教學內容，激發學生對新知識學習的渴望）

引導4：由定理表達式聯想到構造直角三角形，建立數學模型解決問題.

引導5：作一些長度為無理數的線段.

……

教學隨想案例中，教師沒有對數學問題淺嘗輒止，而是通過引導，積極實施概念的拓展與應用教學，激活了教材，激發了興趣，開闊了視野，拓寬了思維.關鍵是這樣做幫助學生形成了“功能良好的數學認知結構”，使學生達到“解一題，會一類”的目的，避免了數學教學中的“題海”戰術，真正做到了“減負增效”.

著名教育家蘇霍姆林斯基認為：“真正的學校乃是一個積極思考的王國.”課堂教學中的引導既是一門學問，更是一門藝術.它是教師教學智慧和教學藝術的體現，是教師真情投入、深情流露、適時捕捉的結果.豐富的資源、多變的信息、動態的課堂，對教師的引導能力提出了前所未有的挑戰.教師只有不斷地提升教育智慧，正確地把握引導契機，才能成為新課程的有效推進者、學生學習和發展的引領者和促進者.