初中生數學直覺思維運用的障礙及對策

☉浙江省臺州市椒江區第五中學 徐丹紅

直覺思維是一種客觀存在的思維形式，它具體表現為思維主體在解決問題時，運用已有的經驗和知識，對問題從總體上直接加以認識和把握，以一種高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題的實質，并迅速解決問題或對問題作出某種猜測.在數學學習中，直覺思維是必不可少的，它是分析和解決實際問題能力的一個重要組成部分，是一個有著潛在開發學生智力意義的不可忽視的因素.因此，在數學教學中，重視直覺思維能力的培養，對培養學生的創新精神和創造能力是至關重要的.然而，學生在數學學習中對直覺思維的運用還存在障礙，本文先分析初中生數學直覺思維運用的障礙，再探討初中生數學直覺思維運用的培養策略.

一、初中生數學直覺思維運用的障礙

1.缺乏整體性觀察，直覺洞察能力不夠

舉例1：曾在《正方形》習題課中出示如下習題：如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，且邊長為延長BC到E且CE＜AB，并作正方形CEFG，則△BDF的面積等于.

絕大部分同學考慮面積割補發現計算過程煩瑣不敢深嘗試，思維被困，部分同學預感計算量大，結果無招呆楞著，更有一部分同學毫無頭緒.若注重整體觀察，洞察出△BDF的面積即為△BDC的面積，可迅速得面積為

圖1

2.缺乏思維靈敏性，直覺推理能力欠缺

舉例2：在教學《一元一次方程》時，有如下例題：

甲、乙兩人同時從A地出發至B地，甲在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2（v1≠v2）；乙在前一半時間用速度v2，在后一半時間用速度v1.那么兩人誰先到達？

基礎扎實的同學用代數式表示出兩人所用時間，采用比較法得出正確結論.但列代數式和作差法計算這兩個難點足使很多同學望而卻步.其實，這是個填空題，只需一個正確結論，出題意圖旨在考查同學的直覺思維能力.容易想象，如果兩種速度差別很大時，較快的速度在一半時間內可以走大部分路程，顯然這種方式用時短.

3.不能正確把握問題信息，直覺判斷能力較弱

舉例3：嘗試讓初三學生解決以下問題：

一名教師在某年元旦向銀行貸款2萬元用于購房，銀行利率為年利率10%（按復利計算），計劃從次年每年元旦分期償還，10年還清，如果每年償還的錢數相等，問每年需還款多少.

這是一道等比數列應用題，本屬高中范疇，若初中學生弄清題意，借助計算器是可以解決的.但學生的結果卻異彩紛呈：有回答79.2元，也有1萬多元，更多的是一臉茫然.而當問及能否解釋其結論的正確性，更是不知所措.其實，只要對問題結果的取值范圍進行合理的估計，并迅速運用直覺思維作出判斷，就可以尋找解決問題的方向，從而達到計算結果的準確性.比如：若沒有利息，則每年需還2000元；若10年后一次還清，需還2（1+10%）10≈5.2萬元，平均每年約還5200元.則答案應在2000元到5200元之間.如此上述荒謬的答案就不會出現了.

種種現狀，究其緣由，學校傳統的數學教學模式在培養訓練學生獲得數學直覺思維能力的成效上，遠沒有達到培養訓練學生獲得數學形象思維能力和邏輯思維能力所取得的成效.這一方面是因為數學知識結構的嚴謹性、抽象性和系統性等特點，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，另一方面是我們教師在教學時往往采用成人的思維習慣，而且大多數數學教師由于長期受演繹論證的訓練，自身也經常忽視直覺思維的運用.為此，筆者認為，在數學教學中，教師要把直覺思維能力的培養放在與邏輯思維能力培養并重的位置上，同時，教師要經常運用直覺思維對問題進行猜想，為學生做出示范，教師的引導和啟發對培養學生的直覺思維將是有效的.

二、培養初中生數學直覺思維運用的策略

1.加強整體意識，提高直覺洞察能力

整體意識體現數學辯證思維的特性，對形成觀察問題全局化、思維方式科學化等數學素養具有關鍵作用.直覺往往是從事物整體入手，對問題從總體上加以把握，它是對問題總體概括的反映.站在整體、全局的高度鳥瞰，綱舉目張，就能洞察出事物之間的聯系和問題的實質，有利于作出正確的直覺判斷.

（1）梳理數學學科的知識結構，為直覺洞察提供依據

直覺思維不是憑空產生的，必須具有該學科的基本知識，了解該學科的研究方法，學科基本結構有利于對學科的深入理解和整體上的把握.所謂數學學科的基本結構，就是指數學學科的基本概念、基本公理定理、基本思想方法，以及它們之間的邏輯聯系和理論框架，各個部分知識緊密聯系，構成了嚴格的學科體系.數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間深刻的內在聯系，包括各部分知識在各自的發展過程中的縱向聯系和各部分知識之間的橫向聯系.在教學中，要善于從本質上抓住這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，整體系統地構建教學框架.學科的基本結構，是學生記憶、應用數學知識，從而達到舉一反三，觸類旁通的有力杠桿，也是發現問題、增強興趣、探索發明的重要基礎.因為數學學科的基本結構，是人類智慧活動的結晶，學生只有掌握了具有一定深度與廣度的基本知識及其聯系之后，才能使思維活動具有豐富的學科內容，才有可能從錯綜復雜的現象中直接而迅速地一眼洞察問題的本質和聯系，才能避免無根據的想入非非和胡猜亂想.例如，學生在學習了有理數的運算律后，在進行實數運算時自然想到有理數的運算律.

作為教師，在引領學生解決問題時，要著眼于問題的整體，考察問題的條件之間內在聯系和問題的結構等.在教學時要引導學生更關注數學概念、法則、定律、公式的結構，更關注幾何基本圖形的位置結構和數量關系.這樣，才能增加思維的跨度，增強直覺洞察能力.在面臨新的問題時才會將問題結構化模式化，從而達到數學知識的順利應用.唯其如此，我們的學生才能逐步形成宏觀把握、整體思考的初步意識.

（2）加強學科間的互補應用，為直覺洞察提供保障

作為人類社會的科學知識是相互關聯的，并且可以整合成為一個統一的知識體系.長期以來，中、高考在分科考試的模式下，各科試題歷來都注意避免“越科過界”.這種觀點在很大程度上制約著學科考試的能力、考查的拓展，特別是對直覺思維能力的考查.近幾年來試題研制時注意到這一點，測試力圖在各學科之間建立起聯系，根據事物及其發展的內在邏輯和規律，將知識重組、整合，構成一有機整體，以期在知識的交融、各種思想方法相互碰撞的過程中，產生更為深刻的思想內涵，也使學科考試中的直覺思維能力的考查顯得更為廣闊、生動和有效.

2.注重猜想能力的科學訓練，提高直覺推理能力

高斯說：“沒有大膽而放肆的猜想，就談不上科學的發現.”猜想是一種難度較大跳躍式的創造性思維，我們要善于激發學生的求知欲，鼓勵他們打破思維定勢、打破形式邏輯的束縛，大膽猜測合情推理，對其結果嚴格邏輯論證.

（1）展現問題，激發猜想興趣

思維永遠是從問題開始的.在教學中，教師要善于通過實驗、列舉事例或引用已有知識，把有待解決的問題展現在學生面前，以激發學生的興趣和追求真理的愿望.可向學生介紹著名的哥德巴赫猜想、黎曼猜想和四色猜想等，以激勵斗志.教師要允許學生猜想各種問題，并進行熱情鼓勵和贊揚，使學生感到猜想的價值，合理性和教師的期望所在，從而使學生獲得滿意肯定的情緒體驗和繼續進行猜想的積極心理定向.

（2）適當示范，指導猜想辦法

教師要給以適當的指導，使學生明白什么值得猜想，什么不值得猜想，應該如何猜想，并培養學生不怕譏笑、不怕出錯和勇于自我修正的精神.教師要經常運用直覺思維對問題進行猜度，為學生做出示范，引發學生模仿.“引”學生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動.讓學生猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，讓學生真正“觸摸”到自己的研究對象，推動其思維的主動性.布魯納認為，如果學生從來沒有見過他們的長輩有效地利用直覺思維的方法去解決問題，那么，他們就未必會相信和發展自己的直覺思維能力.一個善于運用直覺思維的教師所培養出來的學生，一般來說比較聰明.否則，訓練出來的學生難免思想僵化，思路狹窄，其創造思維活動的速度和效率必然極低，難以適應現代社會的發展.

（3）啟發誘導，拓寬猜想渠道

經常用啟發式教育學生，有助于拓寬學生的直覺思維天地.例如教師可通過“打比方”、“舉例子”等方式把抽象的概念具體化，深奧的道理形象化，枯燥的知識趣味化，如教學對頂角概念，教師戲謔“背靠背”，前提必須有相交直線；教學鄰補角，教師念念有詞：“所謂鄰居鄰居，一堵墻公用也！”在比較圓周角和圓心角概念時，教師說：“就如孫悟空翻不出如來佛手掌心，圓心角定義只要‘頂點在圓心’即可.”學生興趣盎然，茅塞頓開.經常這樣教學可引發學生的直覺聯想.

（4）具體引導，運用多種猜想方式

教師要具體引導學生通過觀察、試驗、類比、探索等方式進行猜測，在教學中可以將課本上封閉型的例、習題改造成開放型的問題，為學生提供猜想的機會；或者編制一些變換結論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發學生猜想的愿望、猜想的積極性.

3.滲透數學思想方法及思維方法，建立直覺觀念

數學思想方法和思維方法是思維的具體的路徑，路徑是否通暢，取決于對數學思想方法領會的程度.比如在等腰三角形復習課上，教師提問：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和是定值嗎？若是，這定值等于什么？并證明你的結論.有的學生通過測量，得出結論是定值，但得不出定值等于什么；有的學生意識到任意一點可以是特殊點，比如底邊中點、與底邊端點重合的點，馬上直覺判斷出其定值等于腰上的高，開辟了正確而順暢的思維通道，使接下的結論證明找到了指向和落腳點，體現了由特殊到一般的化歸思想.

類比和歸納在數學發現的方法論中占據著很重要的位置，類比和歸納、聯想介于邏輯思維和直覺思維之間，它們有效地溝通了邏輯思維與直覺思維，為實現邏輯上升到直覺這一認識上的質變奠定了基礎.

4.滲透數學的哲學觀點及審美觀念，建構直覺意識

有關直覺的研究一直是哲學家的探究旨趣之一，數學直覺的更多研究大量體現在數學哲學與數學方法論領域中，其緣由是哲學觀點有利于高屋建瓴的把握事物的本質.這種樸素的哲學觀點，使一類問題的最終解決有了直覺指向.

要真正有效地實施這些策略，還要注意：

（1）要注意直覺思維能力培養的長期性、系統性和全面性

任何一件教育工作的進行與發展都不是一蹴而就的，思維的培養更不可能一朝一夕，它是一個循序漸進逐步滲透的過程.直覺思維能力是多方面的，要將直覺思維的培養融于平時的教學和解題訓練中，盡量有足夠的時間和空間為學生創設寬松熱烈的研討環境，讓學生敞開心扉、各抒己見，形成一個充滿對話、交流甚至辯論、爭執的開放性情景，使思維相撞、溝通，激發數學靈感.

（2）要把握直覺思維與邏輯思維培養的平衡性

直覺思維和邏輯思維，作為人類不同的思維方式，它們各有自己的功能，直覺是發明工具，邏輯是證明工具，對于數學而言，它們構成了數學進展的兩翼.兩種思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展.在中學數學教學中，發展學生的直覺思維，應與邏輯思維密切結合，相輔相成，從而發展學生的創新思維.

總之，只有將直覺思維的培養真正融合到教師的教學實際和學生的生活經驗中，充分調動學生的主體情感，樹立多角度思考問題的習慣和意識，發揮他們內在的創新精神和創新能力，才能不斷促進思維能力的整體發展，以適應新時期社會對人才的需求.

1.馮克誠，主編.中學數學課堂教學方法實用全書.內蒙古大學出版社.1999.

2.馬忠林，主編.數學教學論、數學思維論.廣西教學出版社.1998.