在反思中探究,在探究中反思：“以某線段為直徑的圓過某點”問題探究

☉江蘇省溧水高級中學 徐茂炳

在反思中探究,在探究中反思：“以某線段為直徑的圓過某點”問題探究

☉江蘇省溧水高級中學 徐茂炳

原題重現：蘇教版必修2第116頁第27題

已知圓C：x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

解法1：教參提供，設而不求，然后利用韋達定理．

設直線方程為y=x+b，將A（x1，y1）、B（x2，y2）代入C：x2+y2－2x+4y－4=0，可得x2+（x+b）2－2x+4（x+b）－4=0，整理得2x2+2（b+1）x+b2+4b－4=0．

因為“以弦AB為直徑的圓過原點”，所以x1x2+y1y2=0．

所以x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即b2+3b－4=0，所以b=－4或b=1．

反思1：在南師大編的《數學之友》上有這么一段話“直線與橢圓的復習著力于求出其有理根的問題（至于使用韋達定理的解法還是回避為好），特別是直線過橢圓的特殊點（頂點、焦點、中心），與橢圓的其他交點的坐標如何求出，應非常熟練”，那么對于直線與圓的問題就更應該回避韋達定理了，因為圓有很多橢圓沒有的性質（比如垂徑定理），在教學中往往因為解決某些問題時韋達定理比較好用或者教師的解題觀念還沒有轉變過來，所以在教學中還是無法回避地講解“設而不求”．因此老師一方面在應用“設而不求”解題，一方面《江蘇省高考數學考試說明》又不要求學生掌握韋達定理．所以對學生來說一頭霧水，不知道該用還是不該用．那么教師教學過程中應如何回避呢？

既然高考不要求掌握韋達定理或者說“設而不求”，那么教師教學中當然要少用，甚至不用，特別是

對中等學生．那么不用這個“老一套”，又該怎么求解呢？特別是對于這種“以某線段為直徑的圓過某點”的問題．估計很少有教師去反思探究，或者有些老師覺得老辦法不錯也就不去多想了．可是到了考試的時候真正苦的還是學生．

探究1：首先考慮問題的背景是圓．我們初中學過“垂徑定理”．高中課本課后有道習題又介紹了相交弦的求法．這些性質在很大程度上簡化了圓中的很多計算．

圖1

反思2：解法2從過程上來看確實比“解法1”來得要慢，運算步驟多．所以很多老師即使知道這么寫也不給學生講，導致學生學習解析幾何的時候非常困難．甚至很多學生考試的時候直接“跳過”．其實從這幾年高考題來看，解析幾何一般在第3到第5題之間區分度非常大，所以解析幾何能夠突破的話，對中等學生來說非常有幫助．

那么解法2應不應該跟學生講呢？我覺得必須要講．理由有三：一是這個解法和《考試說明》的要求一致，沒有用到“超綱的韋達定理”，二是垂徑定理是初中比較重要的一個性質，它的應用當然重要，也是知識的一個貫通過程，三是這個解法本身告訴我們關于圓的問題我們應該考慮圓的性質，這樣可以大大簡化運算．

探究2：解法2是從圓的方程入手的，那么我們能否直接從直線的方程切入呢？

解法3：直線CD的方程為y+2=－（x－1），即y=－x－1．

直線AB的方程可設為y=x+b．

圖2

反思3：解法3和解法2有著異曲同工之妙.兩種解法都回避了設而不求的方法.與《考試說明》高度一致.但是解法3比解法2更直接，而且運算更簡便.但是都應用了圓的性質去簡化運算和求解.

通過前面的反思和探究，我想說明的是：教師在教學的過程中，要緊扣《教學大綱》和《考試說明》，而不是經驗主義，要以學生為教學主體，分析學生已知的和未知的，尋找適合學生理解和掌握的方法.雖然解法2和解法3相對于解法1要浪費時間，感覺“吃虧”，但是學生容易接受和理解.

剛才以課本題為例說明了“設而不求”的方法確實可以在新課程標準中把它刪去.那么江蘇的高考題中是怎么體現的呢？也就是說教學中不介紹“設而不求”在平時模擬考試中會不會吃虧呢？我想不但不會吃虧，有時候反而有優勢.至少江蘇高考是這樣的.

（1）求橢圓的方程.

（3）是否存在實數k，使直線y=kx+1交橢圓于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（－1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

圖3

圖4

反思4：這道題是2012屆江蘇一模一道聯考題，這道題考查的是直線與橢圓.如果用韋達定理“設而不求”，那解出這道題需要繞很多彎子.反之，如果利用方程的思想“設而求之”，反而比較容易突破.其實江蘇近幾年高考題都是這個套路.大家可以參考文［1］中的《透過現象看本質》一文.

教師的教是為了學生的學.所以教師在教學過程中應該研究學生的學情和《新課程標準》，不能一味兒的經驗主義和拿來主義.其實現在很多我們認為學生知道的已經在初中教材中刪掉了，比如十字相乘法和韋達定理.因此我們在教學過程中應該抓住學生，離開了學生的“教學”是低效的甚至是無效的.有時候我們經常責怪學生怎么老是不懂或者老是犯錯，其實教師如果多反思自己的教學的話，往往更能解決問題.在教學中反思，在反思中教學，做一個有思想的教師，才能教出會思考的學生.

1.徐茂炳.透過現象看本質［J］.中學數學（上半月·高中），2012（8）.