解決導數問題的重要策略——轉化思想的應用

☉江蘇省江安高級中學 賈學如

解決導數問題的重要策略
——轉化思想的應用

☉江蘇省江安高級中學 賈學如

函數是高中數學的主干內容，高中數學的函數問題內容多而繁，性質復雜且比較抽象，因而很多同學對函數知識的考查極為畏懼，轉化是解決導數問題的重要策略，特別是對于難度比較大的導數問題，更加彰顯了轉化思想的強大功能，下面談談轉化思想如何在導數解題中實現難點的突破．

一、數與形的轉化

有些問題中給出的是“形”的條件，而有些問題中給出的是“數”的條件，聯想到形與數的密切聯系，可以把問題的形與數結合起來考慮，實施轉化，從而降低原命題的難度，使得問題得以解決．

例1（2012年浙江五校聯考高考模擬）函數f（x）=xex－a有兩個零點，則實數a的取值范圍為________.

分析：通過構造函數，利用導數研究函數的單調性，畫出函數的圖像，利用數形結合思想直觀解決.

解：構造函數y=xex.則y′=ex（x+1）.因為ex＞0，所以由y′=0，解得x=－1.

當x＞－1時，y′＞0，函數為增函數；

當x＜－1時，y′＜0，函數為減函數.

所以當x=－1時函數有最小值－e－1=－畫出函數y=xex的圖像，如圖1所示，顯然當－＜a＜0時，函數f（x）=xex－a有兩個零點.點評：對于本題，如果不能正確畫出函數的圖像，容易得出－＜a的錯誤答案．

圖1

二、函數、方程、不等式的轉化

函數、方程、不等式的關系密切，有意識地利用三者之間的關系對問題進行轉化，從而簡捷的解決問題，轉化的價值是培養學生從不同的角度、不同的側面去觀察問題，產生新的聯想，從而解決問題.

分析：函數g（x）在［1，2］上是減函數，轉化為g′（x）≤0在［1，2］上恒成立，再通過分類討論通過求解函數的最值解決.

點評：本題的解決方法是利用導數與函數單調性的關系，將問題轉化為不等式恒成立問題，然后用函數的思想方法求解．

分析：本題考查恒成立問題，通過對問題的挖掘，實際上是求函數的最值問題，借助導數工具以及不等式恒成立結論解決.0?k≥1.

點評：解決本題的關鍵是轉化思想的應用，求參數k的范圍問題轉化為求函數的最值問題，再通過求最值轉化成利用解不等式來解決.

三、等價轉化

所謂等價轉化，是指通過不斷轉化，將未知解的問題（即不熟悉、不規范、復雜的問題）轉化為在已有知識范圍內可解的問題（即熟悉、規范、簡單的問題）的一種思想方法.這種方法注重多種思維的訓練，強調轉化的過程.等價轉化時要求轉化過程必須是充分必要的，才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果.它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口.

例4 若函數f（x）=x3－kx2－k2x+k3在［－1，3］上單調遞減，求k的取值范圍.

分析：本題是非常規函數以及已知含參數的函數的單調性求參數等逆向問題，適合利用導數解決.

解法1：最值法.

解得k≤－9或k≥3，所以k的取值范圍為（－∞，－9］∪［3，+∞）.

解法2：子區間法.

點評：求解本題時，可轉化為兩種途徑解：一是最值法，即不等式f′（x）≤0對于一切x∈［a，b］恒成立，先求出f′（x）在［a，b］上的最大值f′（x）max；二是子集法，先解關于x的不等式f′（x）≤0，得到用參數k表示的函數f（x）的單調減區間U，再令［a，b］?U，從而可以得到關于k的不等式或不等式組，進而得到k的取值范圍.

導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，它作為選修部分進入新課程，為研究函數提供了更有力的工具和更廣闊的空間.在今后的學習中要養成使用導數研究函數的習慣.