活用通項比較法簡證數列不等式

☉湖北省孝感高級中學 張新平

活用通項比較法簡證數列不等式

☉湖北省孝感高級中學 張新平

在近年的各省市高考數學試卷中，有一類與數列有關的不等式證明的問題頻繁出現，由于這類題型綜合性較強，能力要求較高，知識涵蓋面較廣而倍受命題者們的青睞.這類問題的常用證法是數學歸納法，由于思維難度較大，證明過程較繁，放縮技巧較強等而不易被學生掌握.本文以課本題及高考題為例，擬就由數列的前n項之和或前n項之積構成的“求和型”或“求積型”數列不等式的證明，給出一種較為簡捷、快速的方法——通項比較法.

一、“求和型”數列不等式的證法

這是人教版數學選修4—5中的習題，觀察結構特點，適當構造新數列并求和，就有下面證法：

將k=1，2，3，…，n時的n個不等式相加，

評注：“通項比較法”證明“求和型”數列不等式的關鍵，是觀察結構特點，適當構造數列.這種證法的實質，是“裂項法求和”：將新數列的通項公式分裂成為兩項之差，在求和過程中，前項與后項之間，有許多同類項可以合并，從而求出新數列的和．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值班范圍；

將k=1，2，…，n時的n個不等式相加，

二、“求積型”數列不等式的證法

評注：本題將幾何與代數有機地融為一體，既考查曲線與方程，導數及其應用，曲線的切線，數學歸納法，三角函數及其單調性，數列不等式的證明等，又考查待定系數法、化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法等，較好地考查了抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用創新意識.該題構思新穎，設計精巧，是考基礎、出活題，以能力立意，在知識網絡的交匯處命題的典范！

由上可見，“通項比較法”的基本思想，是將不等式兩邊各看成一個數列的前n項之和或前n項之積，通過比較兩個數列的通項表達式的大小，采用累加法或累乘法而使原數列不等式獲證，規律性較強，學生容易掌握，并且靈活運用通項比較法，可使證明過程簡捷、快速、高效.

1.楊仁寬.巧裂項求數列的和，妙放縮證明不等式——淺談一類高考數列不等式問題的求解策略［J］.中學數學，2008，4.

2.周偉志.數列不等式證明方法比較［J］.中學數學，2008，4.

3.楊仁寬.構建高效課堂，提高教學效率——淺談“目標引領，活學巧用”高效課堂中的難點突破［J］.中學數學，2011，12.