挖掘趙爽弦圖的導入功能：信息技術使數學史熠熠生輝的一則案例

☉華中師范大學數學與統計學院 徐章韜

挖掘趙爽弦圖的導入功能：信息技術使數學史熠熠生輝的一則案例

☉華中師范大學數學與統計學院 徐章韜

*本文系中國博士后科學基金第五批特別資助 “信息技術推動數學歷史文化走進數學課堂之研究”（編號：2012T50656）的部分成果.

一、引言

最近，張奠宙先生指出：導入和創設情境是有區別的，不可能在每堂課都創設情境，創設情境不能天天搞.而導入則是每堂課都能進行的.導入的價值和實行的辦法是要思考的問題.導入強于創設情境，導入作為藝術在中國已經成形了，導入的價值和施行方法應該立起來.每節課都要引入［1］.張先生的話從大處著眼，高屋建瓴.要把張先生的思想落到實處，就要從小處著手，從近處著手.用數學史作課堂教學的引子是個不錯的主張.但數學史的運用絕不僅僅限于用有趣的歷史故事吸引學生，而是要充分挖掘歷史文化的底蘊.若能用信息技術使數學史的文化底蘊動態地、形象地揭示出來，將是一件“錦上添花”的事情：濃郁的歷史文化氛圍與現代文明跨時空地交織在一起，歷史文化使思想更深邃，信息技術使思想更完美.本文在吃透趙爽弦圖的基礎上，深入挖掘趙爽弦圖的導入功能，以期拋磚引玉，以期在信息技術的支持下，更多的歷史文化能更好地融入到課堂教學之中.

二、吃透歷史：以形證數、形數統一的趙爽弦圖

三國時期的數學家趙爽是最早對勾股定理進行證明的人.趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”（如圖1），用形數結合得到方法，并給出了勾股定理的詳細證明.在“勾股圓方圖”中，以弦為邊長的正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的.每個直角三角形的面積為ab；中間的小正方形邊長為b－a，面積為（b－a）2.于是便可得如下的式子+（b－a）2=c2，化簡即得，a2+b2=c2.

圖1 勾股圓方圖

趙爽的證明別具匠心，極富創新意識：用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范.以后的數學家大多繼承了這一風格并且屢有發展.例如，稍后一點的劉徽在證明勾股定理時用的也是以形證數的方法，只是具體圖形的分、合、移、補略有不同而已.

中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位.尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義.事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件.正如吳文俊先生所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的……十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續.”

華羅庚先生指出：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”形數結合，讓抽象的數棲居在形之上，用解析的數描述形的特征，堅持抽象性與直觀性的統一其實是一條教學原則.

三、技術使歷史熠熠生輝：趙爽弦圖是很好的導入載體

1.完全平方和公式、完全平方差公式的導入

人教社的教材先舉出計算幾個整式的乘法的實例，然后歸結出完全平方和、完全平方差公式.接著教材又給出圖2說明完全平方和公式.

圖2 人教社教材中的完全平方和（差）公式的說明圖

這是從代數的角度來引入的，圖形起輔助說明.其優點在于和前面的整式乘法的知識銜接緊密，不足之處是文化味兒少了一點兒，沒有充分體現“以形證數，形數統一”的思想.

趙爽弦圖是我國古代的優秀文化遺產，其中閃爍著智慧的光芒迄今仍不過時.我們設想，在介紹一個公式、定理之前，先要讓學生直觀感知，然后再讓學生形式化地證明，可能更符合認知規律.基于上述認識，用超級畫板制作了下面的動畫（如圖3）.

圖3 趙爽弦圖背景中的平方差公式和重要不等式

點擊動畫，還可以看到下面的情形（如圖4）.

圖4 趙弦弦圖背景中的平方和公式

這里，一幅圖的兩種狀態分別表征了平方和公式與平方差公式，這表明這兩個公式其實是一回事！這是從圖形連續變化角度得出來的結論，從代數的角度看，更是如此！初學代數的同學不容易看到這一點，不能把－b看做b，不能理解代數的精髓，現代信息技術使我們慢慢地接受這種觀點，信息技術能改變同學們對數學的看法.

因此，完全平方和、平方差公式的導入流程可以是：演示動畫——計算面積關系——得到公式——驗證公式.這樣，學生經歷感知——觀察——說理——直觀論證這樣一個完整的學習路線.這種引入法完全符合新課程理念.整個過程如圖5所示.

圖5 引入過程和學生的學習過程

2.重要不等式的引入

人教社教材是由直接展開（a－b）2=a2+b2－2ab，再利用平方數的非負性得到重要不等式的.并由圖6給出了重要不等式的圖解.

圖6

而從趙爽導出重要不等式，既為重要不等式配置了圖形背景，也為重要不等式注入了文化的氣息，而且趙爽弦圖美于圖6.

圖7 趙爽弦圖背景中重要不等式取等號的情形

四、一點看法

教育理念上說“不是教教材，而是用教材教”.從人教社教材的編排來看，是先得出數量關系（相等關系或不等關系），然后再用圖形作補充說明.而我們的導入是先給出圖形直觀，然后再觀察得到初步的結論，最后再進行嚴密的論證.這兩種做法孰優孰劣，教師自有選擇.現在教育取向的數學史日益引起廣大一線教師的濃厚興趣，我們想，如果能用信息技術把史料中閃爍智慧光芒的思想充分挖掘出來，而不是簡單地復古，使課堂教學既有文化底蘊，又有現代信息社會的氣息，那么教育取向的數學史將在信息技術的支持下大放異彩.這是我們的愿景.

1.代欽，李春蘭.對中國數學教育的歷史和發展之若干問題的理性思考——對張奠宙先生的訪談錄 ［J］.數學教育學報，2012，（1）：21-25.