立體幾何解答題處理策略

☉浙江省溫州市嘯秋中學 鄭上典

立體幾何解答題處理策略

☉浙江省溫州市嘯秋中學 鄭上典

本文下面介紹解答立體幾何問題的幾個切入點，雖然這些方法對于老師并不陌生，但對學生而言，能夠較快地找到解題的入口，則對教學有借鑒.

立體幾何的解答題是高考的必考題型，這類問題以空間的線、面關系為載體，主要考查學生的空間想象能力、推理論證能力等.但學生在解答這類題時，往往有畏懼感，盲目探索，淺嘗輒止，甚至感到無從下筆.因此有必要對這類問題的解題策略作一些探討.

一、作好輔助線

證明線線平行、線面平行時，若有三角形、梯形一邊的中點，常取另一邊的中點作出中位線，利用三角形、梯形中位線的性質證題.

當有等腰、等邊三角形時，常找底邊的中點連成中線，利用等腰、等邊三角形的底邊的中線即為高線，從而作出垂直關系.

有正方形這個條件時，常連接對角線，利用正方形的對角線互相垂直平分來得到垂直關系.

例1 圖1是一個直三棱柱（以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3.

（1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A1B1C1；

（2）求二面角B—AC—A1的大小；

（3）求此幾何體的體積.

證明：（1）由題意四邊形AA1B1B是直角梯形，且點O是AB的中點，所以想到取A1B1的中點O1，連接OO1，則OO1是梯形AA1B1B的中位線.

圖1

點評：此例就是利用三角形、梯形的中位線的性質證題，過程自然、合理.

二、合理猜想

例2 如圖2，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

（1）求證：D1C⊥AC1；

（2）設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.

證明：（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D.

由DC=DD1，得四邊形DCC1D1是正方形，則DC1⊥D1C.

點評：DC1⊥D1C就是利用正方形的對角線互相垂直證得.

圖2

（2）由于本題證明的是線面平行，平行的問題多和中點有關，所以先猜想使E成為DC的中點時的情況再論證，理由如下：當E是DC的中點時，連接BE，則有BE∥ADA1D1，則四邊形A1D1EB是平行四邊形，D1E∥A1B.

點評：利用平時積累的經驗“猜想”也是數學發現的重要手段，在日常教學中要注重培養學生“先猜想后證明”的數學意識.

圖3

三、挖掘隱含

當題目中告訴一些邊長或角的值時，一定要記得通過計算或論證發現有等腰、等邊三角形或通過a2+b2=c2或者計算角的度數發現有直角三角形.

例3 如圖4，在三棱錐S－ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC的中點.

（1）證明：SO⊥平面ABC；

（2）求二面角A－SC－B的余弦值.

證明：（1）連接OA，由題設SB=AB=SC=AC，BC是公共邊.

圖4

（2）略.

點評：本題容易發現SO⊥BC，但若不利用邊長間的關系SO2+AO2=SA2，不易發現SO⊥AO.

圖5

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角A－PC－D的大小.

證明：（1）由PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，得BD⊥PA.

（2）略.

點評：本題易得BD⊥PA，只要有“利用好邊長計算的意識”，計算出∠ABD=30°，∠BAC=60°，就能證得BD⊥AC.

高考解答題是能力與時間的角逐，贏得考試時間對考生來說至關重要，這就要積累平時的解題經驗與捕捉他人之“玉”，要善于總結和比較，總結出題目類型，比較出最優方法，考場上就會胸有成竹，就會在競爭中占得先機.