淺析指數函數的常見考點

☉河南省羅山高級中學 楊 希

指數函數是我們學習的重要基本函數之一，蘊涵了豐富的函數的內容和函數思想，也是高考中的“常客”.接下來筆者就指數函數的常見的考點略作小結，供讀者參考.

一、指數函數的主要內容

a>1 0

二、常見考點例析

考點一：指數函數的定義考查

定義是學習新知識的基礎，深刻理解定義對整節內容的學習至關重要.

例1若函數f（x）=（a2-3a+3）·ax是指數函數，則a=______.

考點二：指數函數的圖像考查

“數形結合”是高中數學的重要數學思想之一，能直觀的反映出問題的本質.掌握指數函數的圖像特征和性質，結合圖像變換法則畫出圖像，便可使一些復雜的問題更直觀、更簡捷.

例2已知f（x）=ax（a>1），g（x）=bx（b>1），當f（x1）=g（x2）=2時，有x1>x2，則a、b的大小關系是______.

分析：指數函數圖像具備如下性質：在第一象限圖像離x軸越遠，函數的底越大.具體證明（如圖1），取x=1，則有c

解：根據題設，畫出圖像，如圖2，利用指數函數的性質，則有a

圖1圖2

考點三：指數函數的單調性的考查

“單調性”是函數的重要性質之一.構造指數函數模型，利用單調性比大小、解不等式、求值域等是常考題型.

由f（m）>f（n），得m

考點四：函數與方程思想的考查

“函數與方程思想”是數學的重要思想之一.函數是方程與不等式的“中介”，三者既有區別，又聯系緊密，相互轉化.

例4 若關于x的方程4x+1-m4x-m-3=0有正根，求m的取值范圍.

分析：這是含有參數的指數方程，根據指數函數的性質、方程與函數相互轉換等知識，有以下幾種思路.

解法1：利用指數函數的值域轉化為關于m的不等式.

解法2：把原方程換元轉化為關于4x的一次函數來研究.

設4x=t.由x>0，得t>1.

原方程變形為（4-m）t-m-3=0.（1）

設f（t）=（4-m）t-m-3（t>1），原方程有正根，等價于方程⑴在區間（1，+∞）內有實根，則只要函數f（t）在區間（1，+∞）內的圖像與橫軸相交.

考點五：分類討論思想的考查

“分類討論”一直是高考重點考查的內容之一.常見的分類情形有：按數的特性分類；按字母的取值范圍分類；按事件的可能情況分類；按圖形的位置特征分類等.指數函數涉及的討論主要是底“a”的范圍的討論.

例5若函數f（x）=ax-x-a（a>0，a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是______.

分析：設函數y=ax（a>0）且a≠1）和函數y=x+a，則函數f（x）=ax-x-a（a>0，a≠1）有兩個零點，就是函數y=ax（a>0且a=1）與函數y=x+a有兩個交點.由圖像可知當01時，因為函數y=ax（a>1）的圖像過點（0，1），而直線y=x+a所過的點一定在點（0，1）的上方，所以一定有兩個交點.所以實數a的取值范圍是（1，+∞）.

例6若函數f（x）=ax（a>0，a≠1）在區間［1，2］上的最大值是最小值的3倍，則a=________.

分析：由于底a大小不定，則函數的單調性不定，故需要討論.

解：①當a>1時，f（x）=ax（a>0，a≠1）單調遞增，則a2=3a?a=3或a=0（舍去）.

②當00，a≠1）單調遞減，則或a=0（舍去）.