圓錐曲線兩垂直焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì)

☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 葉良志 盧 瓊（特級(jí)教師）

圓錐曲線優(yōu)美、和諧，它有許多內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛的幾何性質(zhì)，吸引著數(shù)學(xué)愛好者樂此不疲地去研究它、發(fā)掘它、拓展它.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，如果過圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦，與此相關(guān)聯(lián)，就可以得到如下漂亮的性質(zhì).

性質(zhì)5 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N，那么直線MN恒過定點(diǎn)

性質(zhì)6 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若以弦AB、CD為直徑的圓的公共弦為PQ，那么直線PQ恒過定點(diǎn)（0，0）（即坐標(biāo)原點(diǎn)）.

證明： 因?yàn)锳（x1，y1）、B（x2，y2），可得以AB為直徑的圓的方程為：

把③④兩式相減，就可得到以AB、CD為直徑的圓的公共弦PQ的方程為：

所以，直線PQ恒經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）（即坐標(biāo)原點(diǎn)）.