用函數思想解決數列問題

【摘 要】 數列是一種特殊的函數，要在函數的觀點下指導數列，通過函數的思想觀點去直觀地認識數列的本質是高考能力立意的指導思想。

【關 鍵 詞】 數列；函數思想；數學

數列性質的研究主要是通過其通項公式和前n項和公式及相鄰項的關系來進行的. 我們可以把數列看成是一種以正整數n為變量的函數，數列的性質就可以通過函數的性質反映過來. 這為數列問題的解決提供了一種新的方向.

一、an及Sn與n的函數關系

數列的通項及前n項和的作用在于刻畫an及Sn與n的函數關系，因而等差等比數列的通項及前n項和都可以看作關于n的函數，其圖像都是一列離散的點.

等差數列的通項公式為an=a1+（n-1）d，這表明（n，an）在直線y=dx+（a1-d）上，其圖像是該直線上一系列離散的點；

等差數列的前n項和公式為Sn=na1+■d，這表明當d≠0時，點（n，Sn）在拋物線y=■x2+（a1-■）x上，其圖像是該拋物線上的一系列離散的點；另外■=■n+（a1-■），這表明（n，■）在直線y=dx+（a1-d）上，其圖像是該直線上的一系列離散的點；

等比數列的通項公式為an=a1qn-1=■qn，這表明當q≠1時，點（n，an）在函數y=■qx圖像上，是一系列離散的點；

等比數列的前n項和公式當q≠1時Sn=■=■-■=-qn（q≠1），這表明（n，Sn）在函數y=■-■qx（q≠1）的圖像上，類似于指數函數式的結構特征，其圖像是類指數函數圖像上的一系列離散的點.

二、典型例題

例1：在等差數列｛an｝中，Sn是｛an｝的前n項和，q，p∈N+，且q≠p.

（1）若Sp=Sq，求證：Sp+q=0；

（2）若Sp=q，Sq=p，求證：Sp+q=-（p+q）.

分析：因為數列是一種特殊的函數，故在解決數列問題時我們可以用函數思想去解決往往會達到事半功倍的效果.

證明：（1）由于Sn是關于n的二次函數，可設f（n）=a■■+bn，又Sp=Sq.

∴ f（p）=f（q），因此它的對稱軸為n=■.

∴ f（p+q）=f（0）=0.

（2）解法1：用一次函數求解

由（1）可知■是關于n的一次函數，因此點（p，■），（q，■），（p+q，■）在同一直線上.

∴ ■=■.

∴ ■=■.

∴ Sp+q=-（p+q）.

解法2：用二次函數求解

設等差數列｛an｝的前n項和Sn=a■■+bn，則Sp=a■■+bp=q，Sq=a■■+bq=p，兩式相減得a（p2-q2）+b（p-q）=-（p-q），而q≠p，則a（p+q）+b=-1.

∴ Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）［a（p+q）+b］=-（p+q）.

例2：｛an｝，｛bn｝分別是等差數列和等比數列，a2=b2>0，a4=b4>0，且a2≠a4，b1>0，試比較an與bn的大小并說明理由.

分析：該問題如果從常規思路求解需求出an與bn的通項公式并求差，但從現有的條件來看an與bn的通項公式求不出來，所以我們只能另辟蹊徑，利用函數思想求解，借助函數圖像問題便可迎刃而解.

解析：設等差數列的通項可以表示成an=an+b.

∵ a2≠a4，∴ a≠0，從圖像上來看表示這個數列的各點均在一次函數y=ax+b的圖像上；

設等比數列的通項bn=b1qn-1=■qn，由b2≠b4，則q≠1，q>0，從圖像上來看表示這個數列的各點均在指數型函數y=■qx的圖像上；

當q>1時，an與bn的圖像如圖1所示；

當0

■

從這兩個圖中可以得出結論：a1

例3：（1）在等差數列｛an｝中，a1=25，S17=S9，問此數列前多少項和最大，并求出最大值.

（2）在等差數列｛an｝中，a4=84，前n項和Sn，已知S9>0，S10<0，則當n=______?搖時Sn最大.

解析：（1）從函數的角度分析此題，等差數列｛an｝的公差d<0，Sn的圖像是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的坐標為■=13，所以S13最大，易求得最大值為169.

（2）從函數的角度分析此題，等差數列｛an｝的公差d<0，Sn的圖像是開口向下的拋物線上的一群離散點，并且該函數圖像過（0，0）點，另一個交點的橫坐標在區間（9，10）內，可見其頂點橫坐標在區間（4.5，5）內，故當n=5時，Sn最大.

評析：數列是特殊的函數，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數列前n項和一般是不含常數項的二次函數，因此求最值問題可用二次函數法，也可用對稱軸來判斷. 由此我們可以總結出以下結論：在等差數列｛an｝中，首項a1>0，前n項和Sn，若Sm=Sk（m，k為常數且m≠k），當m+k為偶數時，則當n=■時，Sn有最大值；當m+k為奇數時，則當n=■時有最大值.

數列是一種特殊的函數，要在函數的觀點下指導數列，通過函數的思想觀點去直觀地認識數列的本質也是高考能力立意的指導思想.