斜齒輪時變接觸線改進算法及螺旋角對接觸線影響

李文良，王黎欽，常山，趙小力

(1.哈爾濱工業大學機電工程學院，哈爾濱150001;2.中國船舶重工集團公司第七〇三研究所，哈爾濱150078)

斜齒輪在高速列車、航空發動機以及艦船等需傳遞重載的設備中廣泛應用［1-2］.接觸線的時變性是斜齒輪傳動的主要特點之一［3-4］，由于接觸線數目的變化會引起剛度、齒面摩擦力的改變，是振動和噪聲的激勵源之一［5-8］.Kubo和Kiyono研究表明隨著斜齒輪螺旋角增大，斜齒輪在嚙合過程中接觸線數目增加，有助于減少激振力使得運行平穩，這是斜齒輪工作的一大優點［9］.但是該研究沒有給出螺旋角對時變接觸線的影響規律.Smith提出斜齒輪的轉動導致嚙合面內接觸線的變化，并計算了接觸線的最大值和最小值［10］.Chinmaya Kar和 A.R.Mohanty［11］采用一種簡化的方法計算接觸線的長度，但是這個算法受到嚙合面形狀限制，只適用于嚙合面寬度在一個端面齒距和2個端面齒距之間，而且最多只能計算同時有3條接觸線的情況，算法受到局限所以不具有普適意義.

早期的文獻以及標準中大部分都只是給出了斜齒輪接觸線的最大值、最小值以及均值，本文采用通用公式利用計算機編程計算，突破了Chinmaya Kar和A.R.Mohanty提出的算法受嚙合面形狀以及接觸線條數的限制條件［11］，可以計算出任意條接觸線的長度以及在一個端面齒距周期內任意時刻接觸線總長度.在此基礎上分析了螺旋角對接觸線長度變化的影響，以便發現其變化規律，為后續齒輪時變剛度、接觸線載荷分布以及修形計算等提供理論依據.

1 斜齒輪時變接觸線算法

由于文獻［11］在推導過程中受到條件限制，不能實現快速計算，工程上應用不方便.本文在文獻［11］的基礎上推導出通用公式，采用計算機編程計算，此程序不受嚙合區形狀以及同時嚙合接觸線數目的限制.

本文根據不同齒輪嚙合形成的嚙合面的特點，以齒輪寬度與嚙合面的寬度比值(b/f)與1的關系作為計算準則，推導出通用的計算時變接觸線的公式，接觸線示意圖如圖1所示，考慮3種情況推導公式如下.

圖1 斜齒輪嚙合區坐標以及接觸線示意Fig.1 Schematic illustration of coordinate and contact line in the pressure plane

情況1 當b/f＞1時:

接觸線的條數n為

嚙合面的寬度f范圍內的接觸線的條數m為

當接觸線的另一端與嚙合面內的對角點的關系表達式為

當p=0接觸線一端到達對角點C，p≠0時則越過對角點C.

情況2 當b/f＜1時:

接觸線的條數n為

n=fix(b(tan αb+f)/pt)+1.

嚙合面的寬度f范圍內的接觸線的條數m為

情況3 當b/f=1時:

接觸線的條數n為

式中:αb為基圓螺旋角，(°);pt為端面齒距，mm;f為嚙合面的寬度，mm;b為斜齒輪的寬度，mm;v為節圓表面速度，m/s.

接觸線的總長度為

2 計算結果和分析

文獻［11］提供的斜齒輪參數代入到本文算法中計算結果對比如圖2所示，計算結果與文獻結果基本一致，初步驗證算法正確.

圖2 結果對比Fig.2 The diagramof comparison result

螺旋角是斜齒輪重要的特征參數，也是引起接觸線變化的主要因素.以某齒輪箱內的一對外嚙合斜齒輪副為例計算，其參數如表1所示.當螺旋角β無限趨于0(β→0)，即接近為直齒輪，采用本文算法計算其接觸線變化，如圖3所示.

表1 斜齒輪副參數Table 1 The parameters of gear pair

圖3 直齒輪接觸線長度變化Fig.3 Dependence of contact length on time of spur gear

直齒輪重合度在1～2之間，由于齒寬為90 mm，雙齒接觸時接觸線長度180 mm，單齒接觸時接觸線長度為90 mm.符合直齒輪在一個端面齒距內的接觸線變化規律.

在螺旋角常用范圍 10°～30°內選擇 10°、15°、20°、25°、30°，用本文算法計算在一個端面齒距運行時間內接觸線總長度變化情況，如圖4所示.

圖4 不同螺旋角時變接觸線總長變化Fig.4 Dependence of contact length on time with different helix angles

采用AutoCAD幾何畫圖量取不同螺旋角下一個端面齒距內的接觸線長度變化，把端面齒距分為10個等分點，量取這10個點對應的接觸線總長度L，結果如圖5所示.

本文程序與幾何驗證的最大值、最小值以及均值如表2.

圖5 幾何測量端面齒距內接觸線Fig.5 Contact length by geometric measurement in a transverse pitch

表2 幾何測量值與程序值對比Table 2 The comparison result of measured values and procedure values

由于計算機在計算過程中對結果小數點后的位數多次取舍導致與測量結果稍有不同，但基本一致，再次驗證程序準確.采用中國航空工業標準HB/Z84.2-1984［12］中斜齒輪接觸線計算方法算出接觸線均值與本文的計算結果對比如表3，結果顯示本文計算接觸線總長的平均值與標準計算的平均值相比誤差在5%以內，此算法精度可靠.計算不同螺旋角下的接觸線均方根值(RMS)變化規律如圖6所示.

表3 與HB/Z84.2－1984計算結果比較Table 3 Result comparison with HB/Z84.2-1984

圖6 不同螺旋角接觸線均方根值Fig.6 The rootmean square of contact line length with different helix angles

從圖6中可知，在螺旋角10°～30°內，隨著螺旋角的增大，接觸線長度的均方根值變小.這是因為螺旋角變大，軸向重合度變大，端面重合度變小，整體重合度是變大的.但是，隨之帶來嚙合面的寬度變小，基圓壓力角變大，端面齒距變大導致接觸線的條數變少，長度變短，使得整體上接觸線的總和變小.

接觸線的波動會帶來較大的振動和噪聲，計算不同螺旋角的接觸線最大值與最小值的幅值變化情況，其變化規律(波動率V)如圖7所示.

圖7 不同螺旋角接觸線波動率Fig.7 Volatility of the length of contact line with different helix angles

圖7 表明，螺旋角為 15°時波動最大，20°、30°時候波動最小.如圖1所示，初始時刻當L1和L3的最大值(端面齒距)相等，且L2和L4的大小相等時，整個接觸線是沒有變化的，齒輪運行最平穩.這是因為隨著L3的增加第1條接觸線變長，第n條接觸線變短，2條接觸線變化量相等，對整個接觸線總長度變化不起作用.第i條接觸線增加，第j條接觸線長度變短，二者變化量相等對整個接觸線總長度變化沒有影響.表4為初始時刻各螺旋角的L1、L2、L3(端面齒距)、L4的值.

表4 嚙合面內接觸線的位置參數Table 4 The contact line position parameters in the pressure plane

螺旋角為15°時的波動最大，這是因為L3的長度遠大于L1的長度，L2和L4的長度接近使得第1條接觸線一直增大從而使接觸線總長度急劇正增大，使得波動值也較大.20°、30°的波動較小是因為L1和L4長度相近，當第n條接觸線的移出接觸區后，第i條接觸線過了C點其長度在一段時間內是不變化的.第j條接觸線長度減少，第1條接觸線長度增加，增加量和減少量相等使得整個接觸線長度變化較小，其波動也就小.雖然L1與L3、L2和L4較為相近，但還有一定差距，導致25°的螺旋角齒輪的接觸線還有一定的波動.

3 結論

1)本文突破了接觸線數值計算所受條件限制，擴大了數值計算接觸線的應用范圍，算法簡單實用.

2)與航空工業標準(HB/Z84.2-1984)計算結果對比顯示，誤差值在5%以內，本算法有效可靠.

3)分析了螺旋角對斜齒輪接觸線長度均方根值的影響，在端面齒距內隨著螺旋角的增大，接觸線長度均方根值變小.

4)時變接觸線波動受到嚙合面內初始時刻接觸線位置影響，本文給出接觸線波動最小的條件:初始時刻當L1和端面齒距相等，且L2和L4相等時，整個接觸線沒有波動，齒輪運行最平穩.

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