利用拓撲優化的結構微小損傷定位研究

茅志穎，陳國平，張保強

(南京航空航天大學 航空宇航學院，南京 210016)

結構在使用過程中，由于受外部環境等的影響容易造成損傷，會影響到結構的力學性能，因此結構的損傷定位成為近年來的一個熱點問題。由于容易通過實驗獲得結構模態參數，因此，以結構振動性能為基礎的結構損傷定位方法被廣泛使用［1－5］。任何結構都可以被考慮成一個帶有剛度、質量和阻尼的振動系統。一旦損傷在結構中出現，結構振動的基本參數會被改變。結構模態參數的變化可以作為早期損傷出現在結構中的信號。基于結構振動性能的損傷定位主要是用結構的模態參數如固有頻率，模態阻尼和模態振型等來實現［6－11］。

拓撲優化在結構設計優化領域有著廣泛的應用，但是在結構損傷定位上的應用還不多見［12－13］，王云，郝際平［14］研究了金屬材料內部微觀缺陷在幾何方程上的體現。本文中，利用漸進結構優化法結合結構模態參數研究了其在微小損傷結構損傷定位應用上的可行性。這種方法基于拓撲優化的特質，可以在結構整個區域尋找損傷點，具有一定的應用前景。

1 損傷定位的數學模型

漸進結構優化法的原理是通過選取適當的準則來判定結構中每一個單元對結構某特性的重要程度，也可以說是使得結構的某一特性達到某一程度，結構中每一個單元的貢獻大小。在本文中，即是指通過判斷所有單元對于結構的幾階共振頻率和反共振頻率的貢獻的大小來確定結構中最有可能損傷的區域。

損傷定位的數學模型可以表示為如下形式:

式中Q=［q1q2… qn］T為結構單元拓撲優化設計向量;qi∈{0 1}，分別表示單元在損傷區域和不在損傷區域兩種情況;mi為單元i的質量。其中，ωkr和 ωka為原結構的共振頻率和反共振頻率，和為損傷結構的共振頻率和反共振頻率，Nr為共振頻率的約束個數，Na為反共振頻率的約束個數，ε為容許的誤差值。

結構振動特性由其特征方程給出，在對結構進行動力學分析時，無阻尼結構的振動特征方程為:

式中:［K］為結構總剛度矩陣，為N階方陣;［M］為結構總質量矩陣，為N階方陣;ωi為第i階固有頻率且λi=ω2i;{φi}為第i階固有振型

經過推導可得結構的i階頻率ωi的靈敏度αij為:

其中［ΔKj］和［ΔMj］為刪除第j個單元使結構的質量和剛度矩陣的變化。

對于一般的無阻尼結構，其系統的頻響函數矩陣為:

Hts(ω)表示在s自由度激勵，在t自由度測量所獲得的頻響。其中，Hits(ω)的分子是伴隨矩陣 adj(［K］－ω2［M］)的第 ts項 H*its(ω)，表示如下:

其中，［Kt，s］和［Mt，s］分別表示刪除第 t行和第 s列元素后的質量矩陣和剛度矩陣。當t=s時，稱為原點頻響函數，當t≠s時，稱為跨點頻響函數。

結構的反共振頻率可以通過下式的特征值問題獲得:

其中，λa即為反共振頻率所對應的特征值。

當Hts(ω)為原點頻響函數時，共振頻率和反共振頻率交叉成對出現，比結構固有頻率少一個，相當于將原系統第i個自由度固定獲得的新結構系統的固有頻率。而當Hts(ω)為跨點頻響函數時，不存在共振頻率和反共振頻率交叉的特性。結構各原點頻響函數的反共振頻率一般是不相同的，如圖1所示。共振現象是系統的全局現象，而反共振現象是系統的一種局部現象。

對于原點反共振頻率，結構中刪除單元的特征值變化可以表示為:

反共振頻率特征值λai的變化值為Δjλai。

對于跨點反共振頻率，結構中刪除單元的特征值的變化量可以表示為:

其中，{φail}和{φair}分別為左右特征向量。

由于，原點反共振頻率的特殊性，在本文中，所使用的反共振頻率都是指某點的原點反共振頻率。

圖1 不同點的原點頻響函數Fig.1 The P-FRFs of different measurement points

2 基于漸進結構優化法的損傷定位策略

當損傷很小時，搜尋的過程會比較困難。在拓撲優化的過程中，因為設計范圍是結構所有的有限元單元，所以當單元數目較多時，尋找微小的損傷單元就會需要很多的工作量。因此在本文中，尋找微小的損傷單元時，采用一種判斷方法來逐步排除不可能的單元，同時向損傷區域逼近。這種方法可以直觀的表示為如圖2所示。

結構的單元是否處于損傷區域的單元，是一個有可能是或者有可能非的模糊概念，因此，結合模糊數學，給每一個單元一個可能是或者可能非的程度大小一個數值衡量。在本文中采用線性隸屬函數的中間型表示結構中每一個單元對于結構共振頻率和反共振頻率變化的靈敏度。

其中，a，b，c，d的計算公式可以表示如下:

圖2 損傷區域逼近Fig.2 The approach strategy of damage region

當結構的損傷比較微小時，也即此時結構的幾階共振頻率和反共振頻率都沒有太大的變化，此時，采用區域逼近方法的搜索過程可以表示為如圖3所示。

(1)將無損傷結構劃分有限元單元，確定初始搜尋范圍內的單元集合Ne;

(2)確定無損傷結構的初始共振頻率和某點的原點反共振頻率以及損傷結構的共振頻率和相同點的原點反共振頻率;

(3)計算無損傷結構的單元對于某一頻率或反共振頻率的靈敏度;

(4)利用式(8)對每個單元的靈敏度求取隸屬度uiω;

圖3 微小損傷定位策略Fig.3 The strategy of tiny damage localization

(5)判斷每個單元的 uω是否小于 δ，同時更新Ne;

(6)對Ne的單元，確定可能的損傷單元;

(7)判斷是否收斂，如果收斂，則損傷搜尋停止;反之，則重復(3)～(6)步，直到搜尋到最可能的損傷區域。

3 數值算例

算例1，如圖4和圖5所示分別為一無損傷結構和一微小的凹槽型損傷結構，左端固支。

原結構的共振頻率和A點的原點反共振頻率以及損傷結構的共振頻率和A點的原點反共振頻率分別如表1所示。

表1 損傷結構和無損傷結構的模態參數Tab.1 Modal data of the undamaged and damaged structure

圖6 A點的原點頻響函數Fig.6 The comparison of the P-FRFs for point A

A點的原點頻響函數曲線如圖6所示。由圖6可以發現，結構的共振頻率和反共振頻率都發生了較小的變化。取δ值為0.2，結構的損傷定位使用了損傷區域逼近的方法，損傷結構的搜尋過程如圖7所示。

圖7 損傷定位過程Fig.7 The process of the damage localization

結構的損傷定位過程如圖7所示，在搜尋過程中，由于使用了損傷區域逼近方法，隨著搜索的進行，其可能得損傷區域在逐步縮小范圍，需要判斷的單元也在逐漸減小，最后只剩下14個可能的損傷單元。從最后的定位結果看，采用區域逼近的方法，其損傷定位還是比較準確的。

算例2，如圖8和圖9所示，分別為一無損傷結構和一具有多處微小損傷結構，左端固支。

原結構的共振頻率和C、D點的原點反共振頻率以及損傷結構的共振頻率和C、D點的原點反共振頻率分別如表2所示。

圖8 無損傷結構Fig.8 Undamaged structure

圖9 損傷結構Fig.9 Damaged structure

C點和D點的原點頻響函數曲線分別如圖10和圖11所示。由圖10和11可以發現，結構的各階頻率和反共振頻率并沒有太大的變化，判斷是微小損傷，使用損傷區域逼近的方法來搜索損傷區域，取δ值為0.2，其搜尋過程如圖12所示。

表2 損傷結構和無損傷結構的模態參數Tab.2 Modal data of the undamaged and damaged structure

圖10 C點的原點頻響函數Fig.10 The comparison of the P-FRFs for point C

在本算例中，為了識別多處微小損傷，因此，使用了兩個點的反共振頻率數據，得到的定位結果很準確。相比于算例1只使用了一個點的反共振頻率就能獲得比較準確的定位結果，在本算例中，當只使用C點的反共振頻率時，得到的損傷定位結果如圖13所示。

圖11 D點的原點頻響函數Fig.11 The comparison of the P－ FRFs for point D

圖12 損傷定位過程Fig.12 The process of the damage localization

圖13所示的是只使用了共振頻率和C點一個點的反共振頻率的定位結果，從結果看，可以發現，此時得到的定位結果并不是很準確，由此可以說明，為了得到盡可能準確的結果，足夠的模態數據，是非常必要的。

圖13 沒有使用D點反共振頻率的定位結果Fig.13 The result without the anti-resonances of the point D

4 結論

本文中以結構模態參數主要是結構共振頻率和結構某點的反共振頻率為基礎，結合漸進結構優化法，討論了其在微小損傷結構的損傷定位中應用的可行性。文章提出了針對微小損傷結構的損傷區域逼近方法，并提出了合適的結合損傷區域逼近的定位策略。針對本文所提的微小損傷結構，給出了的算例分別對單一的微小損傷和多處微小損傷的結構進行討論。算例表明，漸進結構優化法在已經測得結構損傷前后共振頻率和反共振頻率的基礎上，在結構整個區域尋找損傷點，即使對于微小的損傷結構也可以有很好的搜尋效果，可以在工程上推廣應用。

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