一道“怪題”的“解密”教學

浙江省象山縣第二中學 呂增鋒 （郵編：315731）

最近我校高三學生參加了市高三數學聯考，其中有一道填空題甚是“怪異”，具體如下：

1 “怪狀”分析

這道題的怪異之處主要體現在以下幾個方面.首先是“數據怪”，題中的“2009”、“2010”顯然出自年份；并且函數的定義域是含參的變化區域，難道最終的結果和定義域的大小無關嗎？其次是“結構怪”，這個函數由一個指數型函數和正弦函數構成，正弦函數具有很好的對稱性，但這個指數型函數具有什么性質呢？最后是“結論怪”，本題不是單純的求最值，這個函數的最大值與最小值的和具有什么特殊的意義？

2 雷人“怪法”

本以為這道題會讓學生全軍覆沒，但出乎意料的是近有60%以上的學生寫出了正確答案“4019”，筆者大惑不解，特意用了一堂課的時間讓學生展示一下自己的解法.真是不展示不知道，一展示則“雷”倒一大片.

2.1 “雷人”解法 —— 代入法

疑點 1與－1在定義域 ［－a，a］內嗎？為什么函數的最值在f（1）和f（－1）中取到？

2.2 “雷人”解法 —— 忽略法

2.3 “雷人”解法 —— 抵消法

縱觀學生解法，主觀意識過強，思維漏洞百出，與其說是做對不如說是“蒙”對更為恰當.

3 怪題“揭秘”

怪不得學生的“雷人”解法都能得到正確答案.筆者也想到一種更“雷人”的解法.令a→0，則函數f（x）的定義域［－a，a］的長度趨于0，M→f（0），N→f（0），M＋N＝2f（0）＝4019.

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

4 怪題“不怪”

至此，我們知道這道題根本不怪，而是立意新穎、構思巧妙.教師通過什么樣的方式一步一步揭開這道題的怪異面紗，從而使教學過程更加符合學生的認知規律？若把上述性質結論直截了當的告訴學生，雖然省事，但未必能起到良好的教學效果，因為“空降”的性質結論不僅無助于打消學生心中的“怪念頭”，更是無法體現解題的價值.解題的目的是讓學生在解題的過程中進一步熟悉、理解所學內容，在內容之間建立起聯系，體現學科意義上的價值；又通過解題讓學生從成功中發現自我，培養自信、堅強、忍耐的品格.

問題1 已知函數f（x）＝ax3＋bx＋1，常數a、b∈R.

（1）若f（4）＝0，求f（－4）；

（2）證明：f（x）＋f（－x）是定值；

（3）若x∈ ［－a，a］，函數f（x）的最大值為M，最小值為N，求M＋N的值.

意圖 由于原題的函數是由指數型函數構成，相對比較復雜，學生不熟悉，因此在此處特意以學生比較熟悉的三次函數為載體，設計了三個前后呼應的小問題，逐層鋪墊，從而使學生掌握以原點為對稱中心的函數的性質.

弗蘭登塔爾強調“學習數學唯一正確的方法是實行再創造，教師的任務是幫助學生進行這種再創造工作而不是把現成知識灌輸給學生”，讓解題教學更加自然、易于理解，這就是一種再創造的過程.