求參數(shù)范圍的2011年高考題賞析

江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 瞿春波 （郵編：226371）

所謂參數(shù)，就是事先依據(jù)某種要求固定或先待定而后依據(jù)題意取得其值或范圍的量.求參數(shù)范圍在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見.此類問題也是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當(dāng)高的一類題型，主要考查逆向思維和創(chuàng)新意識(shí)，已經(jīng)引起了廣大高中數(shù)學(xué)教師與學(xué)生（特別是高三學(xué)生）的關(guān)注.求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是正確建立相關(guān)不等式.本文以2011年全國各地高考數(shù)學(xué)試題為例，闡述高中數(shù)學(xué)幾個(gè)模塊中求參數(shù)范圍的處理策略.

1 求以函數(shù)為背景的參數(shù)范圍

例1 （2011年湖南卷，文）已知函數(shù)f（x）＝ex－1，g（x）＝－x2＋4x－3，若有f（a）＝g（b），則b的取值范圍為（ ）

解析 由f（x）、g（x）圖象知，f（x）值域是（－1，＋∞），g（x）值 域 是 （－ ∞，1］.對 ?a，b，使f（a）＝g（b）.所以f（x）、g（x）的值域交集非空.因此g（b）＞－1即－b2＋4b－3＞－1，得.故選B.

點(diǎn)評 本題亮點(diǎn)是將函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象關(guān)系.考查了運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)圖象位置關(guān)系建立不等式的能力.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

2 求以向量為背景的參數(shù)范圍

點(diǎn)評 本題考查平面向量、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí).也考查了畫圖能力和邏輯推理能力.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，由特殊到一般思想.

3 求以解三角形為背景的參數(shù)范圍

解析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）因?yàn)閟inA＋sinC＝psinB，所以a＋c＝pb.由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB

點(diǎn)評 本題考查了正、余弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)的知識(shí).也考查了運(yùn)用余弦值范圍建立不等式的能力.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

4 求以線性規(guī)劃為背景的參數(shù)范圍

C.（1 ，3） D.（3 ， ＋ ∞ ）

點(diǎn)評 本題考查了含參數(shù)的線性規(guī)劃，通過直線平移方法求最值點(diǎn)，也考查了運(yùn)用目標(biāo)函數(shù)有最大縱截距建立不等式的能力.

5 求以圓為背景的參數(shù)范圍

例5 （2011年江西卷，理）若曲線C1∶x2＋y2－2x＝0與曲線C2∶y（y－mx－m）＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

點(diǎn)評 本題考查了將曲線方程變形為兩條與圓相交的直線的能力，也考查了運(yùn)用直線與圓相交的性質(zhì)建立不等式的能力.

6 求以圓錐曲線為背景的參數(shù)范圍

例6 （2011年重慶卷，文）設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）

點(diǎn)評 本題考查了圓、雙曲線性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.也考查了運(yùn)用點(diǎn)在圓內(nèi)建立不等式的能力.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

7 求以導(dǎo)數(shù)為背景的參數(shù)范圍

例7 （2011年遼寧卷，文）已知函數(shù)f（x）＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.

解析 令f′（x）＝ex－2＝0，得x＝ln2.當(dāng)x∈ （－ ∞，ln2）時(shí)，f（x） 遞 減； 當(dāng)x∈（ln 2 ，＋∞）時(shí)，f（x）遞增.所以fmin（x）＝f（ln2）＝2－2ln2＋a.因f（x）有零點(diǎn)，所以fmin（x）≤0.即2－2ln2＋a≤0，得a≤2ln2－2.

點(diǎn)評 本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根關(guān)系.也考查了運(yùn)用f（x）圖象與x軸位置關(guān)系建立不等式的能力.

8 求以“新定義”為背景的參數(shù)范圍

設(shè) 函 數(shù)f（x）＝ （x2－2）? （x－x2），x∈R.

若函數(shù)y＝f（x）－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（ ）想相過定發(fā)現(xiàn)3元慮x

解析 由定義，

點(diǎn)評 本題亮點(diǎn)是定義了一種新運(yùn)算，將新運(yùn)算與分段函數(shù)聯(lián)系起來，創(chuàng)造性地考查了分段函數(shù)的建立過程.也考查了畫圖能力.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

綜上所述，求參數(shù)范圍是在高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題型，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)所有模塊，是考生失分較多且不易攻破的重點(diǎn)、難點(diǎn).本文對此問題從解題方法、數(shù)學(xué)思想、思維能力、思考策略等方面加以闡述.另外，集合、不等式、數(shù)列、直線方程、概率與統(tǒng)計(jì)、程序框圖等模塊中，也可以合理運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)思想建立相關(guān)不等式求參數(shù)范圍，本文不再贅述.