文化數學三題（之三）試論文化數學的建構途徑

廣東省深圳市教育科學研究院 尚 強 胡炳生 （郵編：518001）

文化數學，其主要想法就是：用文化的各種元素對數學進行包裝，使數學文化化.將數學從科學課程轉變為文化課程.構建文化數學，可以設想有以下途徑：

1 數學與歷史結合

數學，從數學的歷史故事和歷史上有關數學的逸聞趣事講起.例如，講概率，可以從賭徒梅累提出的得分問題說起，講到帕斯卡和費馬解決此問題的不同思路.這比從定義到定理、公式純理論的講法，一定會有趣得多.故事如下：

在17世紀的法國，有個深有文化素養的賭徒梅累，在賭博中遇到一個棘手的問題：得分問題.

這先要了解當時歐洲賭博游戲的規則：一般是兩人的對奕，雙方各出同等賭資，放在一起作賭注.每局勝者得1分，事先約定先得幾分者為勝，勝者獲得全部賭資.梅累遇到的得分問題是：A、B二人各出金幣32枚作賭注.約定先得4分者獲勝，獲得全部64金幣.但是由于某種突然情況，當A得2分，B得1分時，賭博不得不終止.試問：這時應該按照什么比例來分配這64枚賭金？

梅累雖然是一個熟練的賭徒，但是不能解決這個從未遇到過的難題.于是他向法國天才數學家——帕斯卡（1624－1662）求救.而帕斯卡又把這個問題寫信給他的朋友，被譽為業余數學家之王的費馬（1601－1665）.

經過思考和研究，帕斯卡和費馬從不同的思路上給出了各自的解法.

費馬的方法：設想賭局繼續進行4局，總可以得出最后結果.他列舉出各種勝負可能情況，以決定個人的勝負可能性：

1.A勝4局，B全 負，這 只 有 一 種 情況 ——aaaa；

2.A勝3局，B勝1局，這有4種情況——aaab，aaba，abaa，baaa；

3.A勝2局，B勝2局，這有6種情況——aabb，abab，abba，baba，bbaa，baab；

4.A勝1局，B勝3局，這也有4種情況——bbba，babb，abbb，bbab；

5.B勝4局，A全負，這也只有一種情況 ——bbbb.

以上共有16種情況，其中有11種情況為A勝；其余5種情況B勝.從而A、B二人的勝率（機會）之比為11∶5.

因此，A應得賭金的11／16；B應得其余的5／16，即A應得賭金的×64＝44個金幣，B得×64＝20個金幣.

帕斯卡則從從他發現的數字三角（帕斯卡三角）出發，設想：賭局開始，在數字三角的頂點上放一顆棋子，第一局若A勝，將棋子向左下移到第二行；若B勝則向右下移動棋子到第二行.第一局后，不論誰勝，棋子都會移到第二行.第二局后，棋子一定回移到第三行上.只是若A勝棋子向左下移一格，B勝向右下移一格.依次類推，第三局，棋子移到第四行.第四局后，棋子移到第五行.

例如，若A勝3局，B勝1局，則棋子向左下移3次，向右下移1次.棋子移動的路線有以下四條：

1（向左）→1（向左）→1（向左）→1（向右）→4；

1（向左）→1（向左）→1（向右）→3（向左）→4；

1（向左）→1（向右）→2（向左）→3（向左）→4；

1（向右）→1（向左）→2（向左）→3（向左）→4.

則不論如何，最后棋子都移到第五行的第二個數字4上.這個數字4，就是A勝3局，B勝1局的所有可能情況.

同理，第五行上第三個數字6，就是從頂點1移動棋子到這個數字上的可能情況總數.

因為A若勝4局、3局、2局，A都先勝4局，故A勝；若A只勝1局，或全輸，B才能夠獲勝.

因此，對應第五行上的前3個數字1，4，6就是A獲勝的所有可能情況；而第五行后兩個數字5，1則是B獲勝的所有可能情況.于是A、B獲勝的可能機會之比應為：（1＋4＋6）∶（1＋4）＝11∶5.這與上面費馬的結果完全相同.

到此，梅累的得分問題，便徹底解決.

若用排列、組合符號表示，那么上述結果可以表示為：

比較兩人的思路和解法，雖然后者思路要復雜一些，但是利用排列組合，可以將以上問題的解決，推廣到一般情況.例如，A、B二人各需再勝m局、n局，那么，終局的棋子應該落在第m＋n＋！行上，且二人獲勝機會之比為：

由此，可以引出排列、組合的課題.然后即可進入概率的正題.這樣從數學事件和故事開始，可以引起學生學習興趣.

若對于初中學生講，則不必一次講完，先講個故事的大概.只作為引子，總是可以的.目的在于引起學生求知欲望.

2 數學與文藝結合

數學，從數學詩歌、數學圖畫講起.例如，從孫子問題和孫子歌講起，引導出同余和同余式.又例如，從哥斯尼堡的七橋圖畫，引導圖論的意義和有關知識.

例如，可以引唐代詩人王之渙“登鸛雀樓”詩句“欲窮千里目，更上一層樓”發問？更上一層樓，就能看到千里之外的景色嗎？——不能.那么“欲窮千里目，須上幾層樓”呢？這就變成一個有趣數學問題.可以引出勾股定理、幾何圓的有關知識和求解二次方程等數學知識.也可以引導學生自己來思考和解決；或者師生共同探討解決.

圖1－1

首先將實際問題抽象化.把地球抽象成一個球，而將高樓和人的視線所在的地球截面假設為一個圓.如圖1－1所示，高樓為AB，O為地球球心，人的視線為AC.連接OC，構成直角三角形ACO.再設地球半徑為R＝6370km，樓高為x，依據勾股定理，便有關系式：AC2＋OC2＝AO2即 5002＋R2＝（R＋x）2，或x2＋2Rx－5002＝0.將R＝6370代入上式，得x2＋12740x－250000＝0.這是一元二次方程，據求根公式，便求得其解為：x≈16（km）.假如每層樓高度為4m，那么，該樓就有4900層.按照這位先生的計算，那么，王之渙的這首詩的后兩句，就要改成“欲窮千里目，須上四千九百層樓”，另外還要加注解：“假設每層樓高4m”.

3 數學與生活結合

數學，從生活中的實際問題講起.小學生識數教育，可以從民間諺語“凡事要作到心中有數”說起.認識數字“3”，可以從《三字經》中：天地人“三才”，日月星“三星”等說起.

講概率，從機會說起.舉出學生生活中的關于投擲硬幣、擲骰子和彩票中獎等例子.和學生一同探討和分析研究.然后再上升到一般理論.

幾何作圖，可以與幾何商標圖形進行聯系.要學生舉出他見到的集合圖形商標的例子.舉出典型的著名商標，來加以討論，以此來引出幾何作圖的意義和作法.例如經常見到的下述幾何商標圖形，不加說明，學生都能說出它們的商標名稱.

面對這些幾何圖形商標，可以問學生，這些幾何商標是什么幾何圖形？是如何制作的？有什么特點？有什么文化意義？由此，可以說明幾何作圖的意義和基本幾何作圖，幾何作圖規范作法.進一步，還可以引導有興趣的學生進行幾何圖形商標設計.例如，可以要學生為班級設計一個用幾何圖形表示的班徽.

4 數學與問題解決結合

數學，從問題解決的奇思妙想講起.例如，不等式，可以從用等式“夾逼”出不等式的奇思妙想，來引起學生興趣.關于概率統計，歷史上的趣題很多.例如，可以從帕斯卡、費馬解決“得分問題”，哈代解決“色盲遺傳”的經典問題，引起學生對統計學的興趣和驚喜.

我們來看看哈代是如何解決色盲這個難題的.

在20世紀之初，歐洲人發現人的色盲是能夠遺傳的.于是，有人提出懷疑：因為色盲遺傳，是不是有一天全人類都會成為色盲呢？這可是個大問題.色盲雖然不是嚴重疾病，但是如果一個人是色盲，那么他就不能從事許多種職業.所以誰也不愿是色盲.不過，這是個極其困難的問題.要判斷人的色盲遺傳的可能究竟有多么大，會不會遺傳給全人類，按照當時的科學水平，是不可能解決的，因為人的眼睛是人身體上最復雜的器官；同時，遺傳性牽涉到遺傳基因，而此時基因尚不知為何物.色盲的遺傳性無從研究.那怎么辦呢？人們把這個棘手的問題提到了英國著名代數學家哈代（1977－1947）面前，請他用數學方法來解決.哈代是個純粹數學家，從不搞實際應用數學問題.而這次卻破例答應試試看.他首先了解了關于人類的男女性別的知識：男女性別是由于本身的染色體不同決定的，男女都有23對染色體，其中有一對決定性別的染色體.這性別染色體，男性為“X，Y”，女性則是“X，X”.其次又對色盲遺傳的情況，進行了調查.調查發現了人類色盲的遺傳性有以下幾個特點：

1.男女色盲都有；

2.但是女性色盲比男性色盲比例小得多；

3.如果母親是色盲，那么所剩生的子女中，男性肯定是色盲，而女性則可能色盲，也可能不色盲.

根據以上實際情況，他進行分析后得出初步結論是：

第一，由于男女色盲都有，所以色盲肯定是性染色體中的“X”出了問題，即有缺陷的染色體“X”（不妨記為“X－”）是色盲的元兇.因為如果是染色體Y缺陷的原因，那么女性是不會有色盲的.

第二，為什么女性色盲比男性色盲少呢？——一定是因為女性有兩個染色體“X，X”，如果其中一個有缺陷，另一個正常，它可以不色盲.因此，人只要有一個正常的染色體X，就不色盲.

于是，男人可以分為兩類：F（正常）、S（色盲）；女人分為三類：Z（正常）、C（次正常）和K（色盲）.

為了使問題簡化，我們可以作如下合理假設：

第一，在兩類男子和三類女子之間的配對是隨機的；

第二，異常染色體（X－）在男女人體中的比例相同，設為p（q＝1－p）；

第三，父母與子女兩代人中的男女人數之比為1：1.

在這些假設下，父代男、女中的色盲比例分別為（p＋p2）／2.之所以被2除，因為男女都各只占總人口一半.

于是，父代中父母配對有以下六類：

（1）（F，Z）—— 父母均無色盲；

（2）（F，C）—— 父親正常，母親次正常；

（3）（F，K）—— 父親正常，母親色盲；

（4）（S，Z）—— 父親色盲，母親正常；

（5）（S，C）—— 父親色盲，母親次正常；

（6）（S，K）—— 父母親均色盲.

以下來分析各類夫婦的后代子女中色盲所占比例.

第一類，顯然子女中沒有色盲.

第二類夫婦（F，C）的子女情況如下表：

四種情況子女染色體配對中，僅有一類是色盲，占子女人數的1／4.故在子代總人口中的比例為2pq2／4＝pq2／2.

依次計算其他四類夫婦子女中色盲所占比例，分別為p2q／2、0、p2q和p3.

注意到p＋q＝1，合起來，子代中色盲所占的比例為：

到此.我們驚訝地發現：原來子代中的色盲比例，與父母那一代色盲比例完全一樣，沒有升高的跡象.于是大家都松了一口氣！大家不必擔心因為遺傳原因人類全都成為色盲.這是絕對不會的.

數學家用其數學智慧和數學方法，徹底解決了這個大難題.數學的力量真夠神奇！

文化數學的建設，是一個巨大、系統工程.以上只是窺豹之一斑.但只要我們努力去想，努力去做，堅持不懈，從低年級數學課程做起，從小學一年級數學做起，一步步，積少成多，把學校數學課程進行文化包裝，相信是一定會成功的.