具有階段結構病毒動力學模型的穩定性分析

查淑玲

(渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南714000)

流行性傳染病是嚴重威脅人類健康的疾病，而病毒性感染是現代社會傳染病流行的重要因素.病毒感染正在給人類的生命財產帶來巨大的損失.描述與理解這類病毒感染的動力學原理，對深入研究病毒性感染與抗病毒治療有著基礎性的意義.

在病毒動力學研究中，通常將未被感染的細胞、已被感染的細胞和病毒作為分析的三個變量［1］.其相互作用過程為：一個未被感染的細胞被病毒感染之后，再伴隨著被感染細胞的死亡而產生病毒.由于有一些被感染細胞需要較長時間來產生病毒［2－3］，為此將被感染細胞分為潛伏和活性兩階段是必要的，其中潛伏被感染細胞不能產生病毒，它會經過一段時間后發展為活性被感染細胞，而活性的被感染細胞能直接生產病毒.文獻［4］在假定病毒處于穩定狀態時，得到了病毒的基本再生數，給出了病毒最終滅絕及持續存在的條件.本文則在文獻［4］的模型中，去掉了假定病毒處于穩定狀態的條件，分析了模型平衡態的穩定性，給出了判別穩定的條件.

具有階段結構的病毒動力學模型為

其中，x=x(t)為t時刻未被感染細胞的量，y=y(t)為潛伏被感染細胞的量，z=z(t)為活性被感染細胞的量，ν=ν(t)為病毒的量.假設未被感染的細胞以速率μ1A1/(1+mν)輸入，此輸入率隨病毒量的增加而降低，模型中參數的意義可參看文獻［4］.

由于系統(1)的相空間是四維的，參數較多時分析其動力學性態比較困難，因此引入變量代換

1 無病平衡點穩定性

系統(2)的平衡點滿足方程

由方程(3)可知，系統的無病平衡點為P0(A，0，0，0)，另外系統還有一個疾病平衡點P*(x*，y*，z*，ν*).由(3)中第2式及第3式消去未知量y，可得

定理1 當R0＜1時無病平衡點P0(A，0，0，0)是局部漸進穩定的;R0＞1時無病平衡點P0(A，0，0，0)是不穩定的.

經過計算得

又因條件R0＜1保證了σ2－δA+δAp＞δApε/(μ+ε) ＞0，由Hurwitz判據可知，矩陣J(P0)的另外三個特征值的實部均小于零，因此，R0＜1時無病平衡點P0(A，0，0，0)是局部漸進穩定的;而R0＞1時無病平衡點 P0(A，0，0，0)是不穩定的.

2 地方病平衡點的穩定性

這里為了討論方便起見，不妨假設系統(2)中的參數μ=1.系統(2)在平衡點P*(x*，y*，z*，ν*)處的雅克比矩陣為

定理2 當B1B2B3－B＞0時地方病平衡點P*(x*，y*，z*，ν*)是局部漸進穩定的;當B1B2B3－＜0時地方病平衡點P*(x*，y*，z*，ν*)是不穩定的.

［1］Nowak M A，May R M.Virus Dynamics［M］.New York：Oxford University press，2000.

［2］McLean A R，Emery V C，Webster A，et al.Population dynamies of HIV within an individual after treatment With Zidovudine［J］.AIDS，1991，5(3)：485-459.

［3］王霞，陶有德，宋新宇.一類帶有肝炎B病毒感染的數學模型的全局穩定性分析［J］.生物數學學報，2009，24(l)：1-8.

［4］查淑玲，李建全，楊亞莉.一類具有階段結構的病毒動力學模型［J］.生物數學學報，2011，26(2)：286-292.

［5］Wu J H，Wei G S.Coexistence states for cooperative model with diffusion［J］.Computers and Mathematics with Applications，2002，43：1277-1290.