一類半群的結構

劉心馳

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南714000)

半群代數(shù)理論是代數(shù)學的一個分支.自半群的系統(tǒng)研究至今，半群及其子類的研究一直是半群理論研究中的一個熱點.它的研究受到越來越多人的關注.半群代數(shù)理論十分豐富，它的思想和方法已經(jīng)滲透到自然學科的許多領域，有許多文獻專門研究半群的性質(zhì)和結構，得到了許多重要結果［1－3］.本文給出一類半群的性質(zhì)和結構，結合學習研究內(nèi)容，也給出了此類半群的一個實例.

1 預備知識

設S是非空集合，在S上定義二元運算“·”，如果?a，b，c∈S，(a·b)·c=a·(b·c)，則稱(S，·)為半群.例如，全體正整數(shù)的集合N連同普通的整數(shù)加法運算作成一個半群(N，+).

設(S1，·)與(S2，?)都是半群，φ 是 S1到 S2的一個映射，如果 ?a，b，c∈ S，φ(a·b)= φ(a) ?φ(b)，則稱φ是S1到S2的一個同態(tài)映射，若φ還是一一映射，則稱φ是S1到S2的一個同構映射，這是稱半群(S1，·)與(S2，?)是同構的.

在半群(S，·)中，我們可以簡單地記為S，而省略運算符號“·”，并且在運算式中用ab表示a·b，這樣an就表示n個a連續(xù)作半群運算“·”的結果，讀作a的n次冪，顯然，在一個半群中，aman=am+n，(am)n=amn.

設S是半群，T是半群的非空子集，如果對于?a，b∈T，有ab∈T，則稱T是S的子半群.

設A是S的一個非空子集，S中所有包含A的子半群的交集記為〈A〉，則〈A〉是S的子半群［1］，顯然〈A〉有下列性質(zhì)：

(1)A?〈A〉，

(2)若S1是S中包含A的子半群，則〈A〉?S1.

我們稱〈A〉是S的由A生成的子半群.若S=〈A〉，則稱半群S是由A生成的，特別地，當A={a}時，記為S=〈a〉，S是由元素a生成的，稱S為單演半群.

2 主要結果

定理1 設S=〈a〉，如果 ?m，n∈N，a∈S，am=an?m=n，則S=〈a〉同構于半群(N，+).

證明 由于 ?m，n∈N，am=an?m=n，

顯然φ是S到N的一一映射，并且aman=am+n→m+n，即φ(aman)=m+n=φ(am)+φ(an)，所以φ是S到N的同構映射，因此S=〈a〉與半群(N，+)同構.

定理2 設S=〈a〉，如果存在x，y∈N(x≠y)，使得ax=ay，則存在r，t∈N，有：① 當0 ＜ p＜ r時(p∈N)，對任意q∈N，(q≠p)，aq≠ap.② 當p≥r時，存在p1∈N，r≤p1≤r+t－1，使得ap=ap1.

證明 ① 設X={x∈N|存在y∈N，ax=ay，x≠y}，由已知條件知X非空，依最小數(shù)原則，X中必有最小數(shù)，記為r，這時若0 ＜p＜r，則p?X，依X的定義可知對任意q∈N(q≠p)，aq≠ap.

② 記Y={x∈N|ar+x=ar}，由于r∈X，所以Y非空，Y也有最小數(shù)，記為t，這時，ar=ar+t=arat=ar+tat=ar+2t，這樣，對q≥0，ar=ar+qt，依Y 的定義，a1，a2，a3，…，ar，ar+1，…，ar+t－1是互不相同的，當 p≥r時，依帶余除法［4］，p=r+qt+u，q≥0，0 ≤ u ≤ t－ 1，則 ap=ar+qt+u=ar+qtqu=arau=ar+u，由于0 ≤u≤t－1，所以r≤ r+u≤r+t－1，取 p1=r+u，則 ap=ap1.

由此可以看出半群 S= 〈a〉是一個有限半群，它的全部元素為{a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}，共有 r+t － 1 個，即 S= 〈a〉={a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}.

設 B={α，α1，α2，α3，α4，α5，α6}，容易驗證，當 p ＞ 6 時，存在4 ≤ q≤6 使得 αp= αq，B 是由 α 生成的一個有限半群，B=〈α〉.

(指導老師：朱天民)

［1］Howie M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Oxford University Press，1995.

［2］Gratzer G.Unversal algebra［M］.New York：Springer-wriag，1979.

［3］Petrich M，Reilly N.R.Completely regular semigroups［M］.New York：wiley，1999.

［4］閔嗣鶴，嚴士建.初等數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］趙雨清.單演半群的幾條性質(zhì)［J］.湘潭師范學院學報(自然科學版)，2004，26(1)：20－21.