一種基于概率的覆蓋粗糙集模型研究

王小改，李巧艷，王 璐

(西安工程大學理學院，西安710048)

0 引言

1982年波蘭數學家Z.Pawlak首次提出了粗糙集理論［1］，這是一種處理不確定性和不精確性問題的新的數學工具，在數據挖掘、知識約簡等方面得到成功的應用.1983年Zakowski［2］從實際應用出發，提出了覆蓋粗糙集模型，并討論了相關的性質.2003年William Zhu和WANG Fei-yue［3］在覆蓋粗糙集的基礎上給出了約簡的概念和方法，證明了一個覆蓋通過約簡得到的最簡覆蓋是唯一的，并且證明了最簡覆蓋相同的兩個覆蓋產生相同的上、下近似.

1 一種基于概率的覆蓋粗糙集模型

定義1［4］設U是有限論域，集函數P∶2U→［0，1］成為概率側度，若

(1)P(U)=1，

(2)當A∩B=?，有P(A∪B)=p(A)+p(B)，

若P是U上的概率測度，稱A，B?U且P(B) ＞0，稱

為在事件B發生的情況下事件A發生的條件概率.

定義2 (覆蓋、覆蓋近似空間)設U是一個論域，C是U的一個子集族.如果C中的所有子集都不空，且∪C=U，則稱C是U的一個覆蓋，稱有序對 ＜U，C＞為覆蓋近似空間.

定義3［5］(最小描述)設 ＜U，C ＞ 為一個覆蓋近似空間，x∈U，則稱

為x的最小描述.

定義4 (覆蓋下近似、上近似)設C={K1，K2，…，Kn}是論域U上的一個覆蓋，P為定義在U的子集類構成的σ代數上的概率測度，記A=(U，C，P)為覆蓋概率近似空間，則對任意X?U，0≤β＜α≤1，定義X的關于A=(U，C，P)依參數α，β的下近似和上近似分別為：

X 的關于 A=(U，C，P) 依參數 α，β，的覆蓋邊界域為 Bn(X，α，β)=

定理1 對于定義4下的覆蓋上、下近似有如下性質：

2 覆蓋粗糙集的數字特征

文獻［6］介紹給出了粗糙集的數字特征.本節我們在文獻［6］的基礎上討論定義4給出的覆蓋粗糙集的數字特征.

定義5 (集合的近似精度和粗糙度)設C是論域U上的一個覆蓋，對?X?U，稱集合X的α近似精度和ρ粗糙度分別為

對每一個X?U，有0≤α(X)≤1.當α(X)=1時，X的邊界域為空集，所以集合X是可定義的;當α(X)＜1時，集合X有非空的邊界域，所以集合是不可定義的;當集合X為空集時，我們就定α(X)=α(?)=1.

X的α粗糙度與ρ近似精度恰恰相反，它反映了我們在覆蓋C對于集合X表達的范疇了解的不完全程度.

定義6 (近似分類精度和近似分類質量)設C是論域U上的一個覆蓋，以及論域U上的一個劃分π(U)={X1，X2，X3，…，Xn} ∈ Π(U)，且這個劃分獨立于覆蓋 C.其中子集 Xi(i=1，2，…，n) 是劃分π(U)的等價類.首先定義π(U)的下近似和上近似分別為：

定義7 (知識庫中系統參數的重要度)設C是論域U上的一個覆蓋，C表示描述覆蓋近似空間 ＜U，C＞的一組數或單個的系統參數.?X?U和獨立于系統參數C的論域U的一個劃分π(U)={X1，X2，…，Xn}，定義集合X關于系統參數C的重要度和劃分π(U)關于系統參數C的重要度分別為

由定義，系統參數具有以下性質：

(1)?X?U，π(U)∈∏(U)，0≤sigC(X)≤1;0≤sigC(π(U))≤1.

(2)當sigC(X)=1時，表明覆蓋C可精確描述出集合X.

(3)當sigC(X)=0時，表明覆蓋C無法判斷論域U中的任意元素是否屬于概念X.

(4)X系統參數C的重要度越大，表明用覆蓋C描述集合X的近似精度就越高.

(5)當sigC(π(U))=1時，表明覆蓋C可精確描述出劃分π(U)，即劃分π(U)是比覆蓋C所表示的劃分更粗的劃分.

(6)當sigC(π(U))=0時，表明覆蓋C無法判斷論域U中的任意元素是否屬于劃分π(U)中的概念Xi(i=1，2，…，n).

(7)劃分π(U)系統參數C的重要度越大，表明用覆蓋C描述該劃分π(U)的似精度就越高.

(8)無論集合還是劃分，它的系統參數C的重要度越大，表明覆蓋C分類能力越強.

(9)無論集合還是劃分，它的系統參數C的重要度隨著C的細劃而單調遞增.

3 覆蓋粗糙集的拓撲特征

定義8 設C是論域U上的一個覆蓋，

定理3 (1)集合X為C-可定義，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義，當且僅當 ～X為C-可定義的，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義;

(2)X為C-外(或內)不可定義當且僅當 ～X為C-外(或內)不可定義.

所以X為C-粗糙可定義? ～X為C-粗糙可定義.

綜上所述，集合X為C-可定義，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義，當且僅當 ～X為C-可定義的，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義.

同理可證(2)成立.

4 結語

本文提出了一種新的覆蓋粗糙集的上、下近似定義，并討論了其性質.同時，研究了其數字特征與拓撲特征，豐富了覆蓋粗糙集的研究.

［1］Pawlak Z.Rough sets［J］.International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11：341 －356.

［2］Zakowski W.Approximation in the space(U，∏)［J］.Demonstration Mathematic，1983，16：761 －769.

［3］William Zhu，WANG Fei-yue.Reduction and axiomization of covering generalized rough set［J］.Information Sciences，2003，152：217 －230.

［4］孫秉珍，鞏增泰.變精度概率粗糙集模型［J］.西北師范大學學報(自然科學版)，2005，41(4)：23－26.

［5］Zhu W，Wang F Y.Reduction and axiomization of covering generalized rough sets［J］.Information Sciences，2003，152：217 －230.

［6］苗奪謙，李道國.粗糙集理論、算法與應用［M］.北京：清華大學出版社，2008.34－57.