mkdv方程的精確行波解

薛春榮

(渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南714000)

0 引言

隨著科學技術的發展，非線性現象在自然科學和社會科學領域的作用越來越重要，物理、化學、生物、工程技術，甚至社會的經濟問題都存在著大量的非線性問題，這些問題的研究常常能用非線性偏微分方程來描述.因此如何求解這些非線性方程成為廣大數學和物理工作者致力于研究的一個課題.近年來，人們提出和發展了求解非線性方程的有效方法.如齊次平衡法［1－2］，雙曲正切函數展開法［3－5］，并用這些方法求解了許多非線性方程.

本文推廣了已被人們廣泛使用的雙曲函數方法，并利用該方程求解mkdv方程［6］.

很顯然，各種重要的非線性演化方程如kdv方程，kdv-mkdv方程，mkdv-Burgers方程，都是方程

的特殊情形.我們通過求解方程(2)來介紹這種方法，并利用這種方法對(1)進行求解.

1 Kdv-mkdv-Burgers方程的精確行波解

Kdv-mkdv-Burgers方程：ut+ αuut+ βu2ux+ γuxx+ δuxxx=0

假定u(ξ)=.其中函數 f(ξ) 可取為：f(ξ)=tanhξ，f(ξ)=cothξ，f(ξ)=tanξ，f(ξ)=cotξ，系數Ai(i=1，2，…m)為待定常數.把(5)式代入方程(2)，通過平衡方程的線性最高階導數項uξξξ和非線性項uuξ的階數，可以確定行波解的階數m. (5)

把(6)式代入(4)式中，可得到一組確定常數A0，A1，K，和ω的方程

由于方程(8)和(9)相同，都是共有4個未知數，而只有3個獨立方程，選取ω為自由參數，如果δ＞0，β ＜ 0，ω或 δ＜ 0，β ＞ 0，ω ＞則A，A和K有實解.解(8)或(9)，得到01

把(10)代入(6)和(3)，由于tanh(－ ξ)= －tanhξ，coth(－ ξ)= －cothξ，得到組合Kdv-mkdv-Burgers方程的4個精確行波解

將(13)代入(6)和(3)，于是我們又得到組合Kdv-mkdv-Burgers方程的4個精確行波解

2 mkdv方程的精確行波解

把 u(x，t)=u(ξ)=u［k(x － ωt)］代入方程(1) 得到

假定u(ξ)=其中函數 f(ξ) 可取為：f(ξ)=tanhξ，f(ξ)=cothξ，f(ξ)=tanξ，f(ξ)=cotξ，系數Bi(i=1，2，…，m)為待定常數.把(16)式代入方程(1)，通過平衡方程的線性最高階導數項和非線性項的階數，可以確定行波解的階數m.m+3=3m+1，故m=1. (16)

由于方程(19)和(20)相同，都是共有4個未知數，而只有3個獨立方程，選取ω為自由參數，如果ω＞0，則 B0，B1，k有實數解，解(19) 或(20) 得

將(21) 代入到 (17)和(3)，由于tanh(－ ξ)=tanhξ，coth(－ ξ)= － cothξ，得到mkdv方程的4個精確行波解

將(24)代入到(17)和(3)，于是我們又得到mkdv方程的4個精確行波解

3 結論

利用一種推廣的直接方法，求出mkdv方程的多類精確行波解.很顯然，本文方法也可以用來處理(2+1)維組合Kdv-mkdv-Burguers方程

(ut+ αuux+ βu2ux+ γuxx+ δuxxx)x+ ηuyy=0

和Kolmogorov-Petrovski-Piskunov方程(ut－uxx+μu+νu2+λu3)x+δuyy=0的精確行波解.

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