小波-DQ法求解對流占優方程的算法設計

張菊梅

(渭南師范學院，陜西渭南714000)

0 引言

考慮常系數對流占優方程

其中擴散系數ε＞0，對流系數p是常數，q也是常數，此方程的形式簡單，但是一般情況下對流系數應遠遠大于擴散系數，因此在邊界附近的變化速率很大，一般數值求解方法(如中心差分法、Galerkin有限元方法)求解，在參數ε很小的情況下要達到一定精度，需要有比較多的節點才能滿足，這樣不但增加了計算量，而且數值穩定性也比較差.

小波-DQ法是在微分求積(DQ)法的基礎上建立起來的求解微分方程邊值問題新的方法［1］，通過應用該方法對變截面直桿縱振動問題的求解，充分驗證了本方法的實用性和有效性.同時，數值結果顯示小波-DQ法是求解微分方程邊值問題的一種計算簡單、高精度的新方法.本文將以對流占優方程為例，對小波-DQ法的算法設計進行簡要介紹.

1 小波-DQ法

小波-DQ法是在微分求積(DQ)法的基礎之上，以多分辨分析理論為理論基礎，通過引入插值小波基函數［2－3］，形成了新的微分方程邊值問題的求解方法——小波-DQ法.經過對力學方面相關問題的應用，已經顯示出該方法的有效性.

2 對流占優方程

對于以下對流占優方程［4］

3 算法設計

小波-DQ法的基本思想是用整個計算區域或某一坐標方向上所有網格點處函數值的加權和來近似替代函數在各個網格點處的導數值，在這里插值基函數我們選取具有插值性的小波函數［5］

3.1 參數初始化

clc

J=4;b0=1;xr=1;xl=0; %參數輸入

n1=2^J; %內節點數

n2=1; %外節點數

n=n1+2*n2+1; %節點總數

e=0.01; % 對流占優方程的擴散系數

3.2 對區間內的配置點

由于邊界點附近的函數局部變化得劇烈一些，因而在左右邊界附近各取N個外尺度函數，這時區間Ω上的函數就可由這2N個外小波配置點和2J+1個內小波配置點表示.

3.3 小波在配置點處的函數值及導數值

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

y=xiaobo1(L，j，b0，xr，xl，k，x(m+2^(L+j－ 1)+N+1));

%這里的xiaobo是函數名，可根據需要選取不同的小波函數

A(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(1);% 函數值

B(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(2);% 一階導數值

C(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(3);% 二階導數值

end

end

3.4 計算對流占優方程的系數矩陣及數值解

E=－e*C+B+A;

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

H(m+2^(L+j－ 1)+N，k+2^(L+j－ 1)+N)=D(：，k+2^(L+j－ 1)+N)'*

E(m+2^(L+j－ 1)+N，：)';

end

b(m+2^(L+j－1)+N)=1;

end

y21=H'; %不含邊界點的數值解

y2=［0，y21'，0］; % 此對流占優方程在所有配置點上的所有數值解

3.5 對流占優方程的精確解

l1=(1+sqrt(1+4*e))/(2*e);l2=(1－sqrt(1+4*e))/(2*e);

y1=(1－exp(l2))*exp(l1*x)/(exp(l2)－exp(l1))－(1－exp(l1))*

exp(l2*x)/(exp(l2)－exp(l1))+1;

3.6 繪制圖形(如圖1)

圖1 在不同的取值下對流占優問題的解(—精確解，＊＊＊本文數值解)

figure()

plot(x，y1，x，y2，'.'，'MarkerSize'，10)

hold on

set(gca，'fontsize'，15) % 設置刻度疏密

axis(［0 1 0 0.2］) % 設置橫縱坐標范圍

title(＇Shannon 小波作為插值基函 '，'FontSize'，16，'FontName'，'楷書 ');%設置標題數字和漢字類型

text(0.3，0.15，'epsilon=1.0'，'FontSize'，16) % 圖中標記符號插入程序段

4 結果分析

本文選取Shannon小波函數作為插值基函數，在擴散系數取小數值ε=0.1，0.01，0.005時，在邊界點附近及隨機選取的節點處點誤差見表1.從計算結果看，本方法在節點數相對較少的情況下都能得到比較理想的數值擬合結果，如圖1(a)、(b)、(c)、(d)所示.

表1 在擴散系數取小數值時，在邊界點附近及隨機選取的節點處點誤差

由于方程隨著ε的減小，函數局部變化隨之劇烈，如ε=0.005時方程的解，見圖1(d)，邊界附近出現了數值比較大的震蕩.可是，當取J=6時，對震蕩現象得到改善，逼近效果變好，如圖2所示，表明小波-DQ法可以根據需要調整節點的變化，保證收斂性以及對奇異性的有效性.

根據小波-DQ法的基本思想，本文以對流占優方程的定解問題為例，應用matlab程序對該算法進行了實現，并且通過實驗發現，該方法理論可靠，算法簡單，易于操作，而且計算精度很高.值得注意的是，由于我們取了外小波，邊界附近的數值震蕩沒有出現，而且逼近效果很好.

圖2 對流占優問題的解(ε =0.005，J=6，— 精確解，＊＊＊ 本文數值解)

5 小結

本文以對流占優方程為例，應用matlab程序通過對小波-DQ算法進行了簡單介紹，這為該方法后續的研究打下了堅實的基礎，也為研究該方法的其他應用提供了參考.

［1］張菊梅.小波微分求積法研究及其應用［D］.西安：西安理工大學碩士學位論文，2010.

［2］Bertoluzza S.A Wavelet Collocation Method for the Numerical Solution of Partial Pifferential Equations［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，1996，(3)：1 －9.

［3］Comincioli V，Naldi G，Scapolla T.A wavelet-based method for numerical solution of nonlinear evolution equations［J］.Applied Numerical Mathematics，2000，33：291 －297.

［4］趙鳳群，張培茹，張瑞平.兩點邊值問題的小波配點法［J］.計算力學學報，2009，26(6)：947－950.

［5］張菊梅，趙鳳群，黨曉敏.變截面彈性直桿縱振動分析的小波-DQ法［J］.力學與實踐，2010，32(4)：71－73.