《等差數列的前n項和》教學設計

楊映全

一、教材分析

從近年來高考試題中分析得知，考查數列的比重越來越大，其價值越來越得到重視。尤其是相關數列的題型不僅能夠鍛煉學生的探究能力，培養學生嚴謹的思維能力，而且對學生分析能力、歸納能力的培養也起著不可替代的作用。同時，等差數列的前n項和也是上節課等差數列的后繼內容。本節課的主要內容是：等差數列前n項和公式的推導及運用。

二、教學目標

1.知識與技能目標：

（1）掌握等差數列前n項和的公式以及推導過程；

（2）會用等差數列的前n項和解決相關的一些問題。

2.能力目標：

通過讓學生自主推導前n項和公式來鍛煉學生的自主學習能力

通過相關問題情境的創設來培養學生的獨立思考能力和探究能力。

3.過程與方法：

自主探究模式、數學思想的滲透。

三、教學重點與難點

重點：等差數列前n項和公式的推導。

難點：等差數列前n項和公式的靈活運用。

四、學生分析

“以學生為中心”的教學思想是新課程改革下的基本教學理念，也是學生健全發展的保障。所以，對于高中階段的學生來說，他們已經具備了自主學習的能力，而且多年的學習也促使學生有了特有的學習方法，因此，我們可以借助自主探究式教學模式來給學生搭建自主學習的平臺，進而為學生獲得更大的發展空間打下堅實的基礎。

五、教學過程

導入環節：回顧等差數列的通項公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果將某個等差數列各個項相加，會得到怎樣的結果？

（設計意圖：一是讓學生回顧和復習上節課的內容；二是提出問題，調動學生的求知欲，使學生帶著問題走進課堂。）

情境創設：德國偉大數學家高斯在九歲那年，用很短的時間完成了教師布置的一道數學題：對自然數從1到100的數進行求和。老師非常驚訝高斯為什么能在這么短的時間里計算出對這個年齡來說相當困難、相當耗費時間的題目。思考：高斯用了什么方法？

（設計意圖：創設該環境只是為了要將本節課的正題引出，因為對于這樣的題，學生很容易回答出答案為5050；對50對構造成和101的數列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我們通常所說的首尾相加。）

接著，讓學生簡述解題過程。接著，引導學生思考：如果這道試題改為“對自然數從1到n的數進行求和？”會得到怎樣的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n

學生1：延續高斯的首尾相加。

第一項和倒數第一項相加：1+n

第二項和倒數第二項相加：2+（n-1）=n+1

第三項和倒數第三項相加：3+（n-2）=n+1

……

第n項和倒數第n項相加：n+[n-（n-1）]=n+1

于是所有的前n項和為■

學生2：借助等差數列的通項公式。

設y=1+2+3+4+…+n

觀察可以看出，該式子各項之間是等差為1的等差數列。

即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）

y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）

將（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y

（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y

y=■

所以，1+2+3+…+n=■

……

（設計意圖：引導學生發揮自己的主觀能動性，積極動手、動腦尋找解答的過程，這樣一來不僅能夠加深學生對相關知識的印象，提高學生的理解能力，而且對學生綜合能力的提高也起著非常重要的作用。同時，該環節的設計是等差數列前n項和公式推導出來的前提。）

在學生給出不同的解答過程之后，我接著引導學生思考：如果對于一個等差數列，第一項未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推導出該等差數列的前n項和公式。（學生思考，并在上述解答的思路中給予證明。）

證明：先求出等差數列的通項：an=a■+（n-1）d

設前n項和為Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]

=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d

=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]

=na■+■d

當然方法不止這一種，在此不再進行詳細的介紹。總之，在對學生的解題過程給予肯定之后，我明確了等差數列前n項和公式，并板書該公式，而且導入環節的問題也隨之得到了解決。

（設計意圖：該過程的設計就是為了讓學生自主動手推導出等差數列的求和公式，這樣不僅能夠加深學生的印象，而且對提高學生數學知識的應用能力也起著非常重要的作用。）

思考問題：（1）在等差數列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，則S13等于 ?； ?；。

（2）設等差數列{a■}的前n項和為S■，若a■=S■=12，則{a■}的通項a■= ?； ?；。

（3）已知等差數列前m項和為30，前2m項和為100，求前3m項和為多少？

（4）設等差數列an的前n項和為S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？

……

（設計意圖：這幾道試題從難度上來說，由簡至難，既符合學生的認知規律，而且對學生知識應用能力的培養也起著非常重要的作用。）

六、教學反思

在本節課的設計中，我首先引導學生回顧了上節課的知識，既要起到復習的作用，又要為本節課的順利開展打好基礎。之后，借助學生熟悉的情境將學生引入本節課的學習當中。在整個過程中，我一直堅持“以學生的發展為中心”“學生是課堂主體”的思想，借助自主探究模式，給學生搭建自主展示、自主思考的平臺，進而讓學生在自主學習、自主探究的過程中掌握本節課的重難點內容，同時，為了能夠最大限度地發揮學生的主動性，激發學生的學習熱情。當然，也為了加深學生的印象，使學生體驗自主學習帶來的成功喜悅，我還設計了相關的問題，以促使高效課堂的順利實現。

編輯 李建軍