基于ERSM的渦輪機匣徑向變形動態概率分析

費成巍，白廣忱

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京 100191）

0 引言

渦輪機匣的徑向變形對葉尖間隙控制有重要影響，對機匣徑向變形進行合理有效地分析具有重要意義。國內外的許多研究機構用分析軟件對機匣徑向變形進行數值分析，取得了很多研究成果[1-3]。然而，這些成果都是采用確定性分析方法，忽略了徑向變形各方面影響因素的隨機性，具有很大的盲目性。因此，為了更客觀準確地描述機匣徑向變形的變化規律，改善運行間隙設計和控制的合理性，應考慮多個隨機因素和載荷的隨機性對機匣徑向變形的影響。這相應要求機匣徑向變形的確定性分析亟待轉變為概率分析。

概率分析已在許多領域廣泛應用[4-6]，但目前還未應用于航空發動機可靠性分析。如果對機匣徑向變形進行概率分析，不但可以根據隨機參量的分布特征得到機匣徑向變形的概率分布，也可以根據機匣徑向變形設計要求確定隨機參量特征，有利于改善機匣設計優化和葉尖間隙控制，同時也便于提高發動機的效率和性能。張春宜、白廣忱等[7]提出的柔性機構可靠性優化的極值響應面法（ERSM），能在不降低計算精度的前提下大大提高計算效率，為機匣徑向變形的概率分析提供新的思路。

本文將ERSM應用到渦輪機匣徑向變形動態概率分析中，提出了動態概率分析的極值響應面法。

1 基本理論

1.1 傳統方法

傳統概率分析方法有Monte Carlo法（MC法或MCM）和響應面法（RSM）[8]，以及其改進方法[7,9-11]。MCM是通過隨機抽樣的手段，解決未知極限狀態方程情況下，進行可靠性分析的最簡單直接的方法。其計算精度很高，但計算時間很長，效率低。RSM是通過一系列確定試驗擬合1個響應面來模擬真實極限狀態曲面。若用響應面式（1）來描述系統輸出響應Y和隨機參數X=[X1,X2,…，Xr]關系，通過隨機抽樣得到隨機變量的N個樣本值，再對N個樣本值計算得到系統響應的1組樣本值（z1,z2,…zs），求解響應面函數未知系數，得到該系統函數，進而用該響應面代替有限元模型進行概率分析。

式中：a0、bi、cij（i=1,…，r；j=1,…,r）分別為常數項、1次項和2次項的待定系數。

RSM的計算效率雖比MCM有所提高，但對于非線性復雜結構的動態概率分析，計算量大大增加，且計算效率仍很低。

1.2 動態概率分析的極值響應面法

針對以上問題，本文提出動態概率分析的極值響應面法（ERSM），其基本原理是：首先，用MCM小批量抽取輸入參數隨機樣本，對每個抽樣樣本在分析時域[0,T]內求解有限元模型，得到系統在[0,T]內的動態輸出響應。再將全部抽樣輸入樣本對應的動態輸出響應在[0,T]內的極值作為新的輸出響應，構造[0,T]內反映輸入參數與極值輸出之間關系的函數。選取輸入隨機變量及對應的輸出極值響應數據代入響應面函數（如式（1）），確定其系數。其次，用該響應函數代替有限元模型計算系統的動態極值輸出響應，從而進行系統的概率分析。該方法在動態概率分析時，不計算系統每一時刻的輸出響應，只計算分析時域[0,T]內不同輸入隨機變量對應的輸出響應的極值，從而進行系統的概率分析。其模型如圖1所示。可以看出，ERSM是將原來非線性復雜動態系統概率分析的隨機過程問題轉化為隨機變量問題，由此極大地減少了計算時間，提高了計算效率，使得從前一些不可能實現的概率分析問題成為可能。

圖1 有限元極值響應面法動態概率分析流程

1.3 ERSM的數學模型

設某有限元模型第j組輸入樣本為X（j），在[0，T]時域內的輸出響應為，該響應在[0，T]時域內的最大值為如圖2所示。將不同輸入樣本在[0,T]內輸出響應的最大值構成的集合的全部數值點擬合的曲線作為新的輸出響應曲線Y，并稱為極值響應曲線，則 X（j）與Y的函數關系可以表示為

寫成響應面函數形式

式中：a0為常數；B為1次項系數向量；C為含有交叉項的2次項系數上（下）三角矩陣；X為輸入變量向量。

式（3）被稱為極值響應面函數。由該函數確定的輸入輸出關系曲線稱之為極值響應曲線。其中

式中：j=1,2….M；M為樣本點數；下標k為輸入變量數。

在求解極值響應面函數系數時，在極值輸出響應中選取足夠數量的試驗點，將試驗點的數據代入式（3）中，確定極值響應面函數的系數 a0、B、C，得到極值響應面函數的表達式。然后用該極值響應面函數代替有限元模型進行相應的概率分析，這種方法就是ERSM，屬于全局響應面法。

1.4 概率分析方法

概率分析是用來評估模型的輸入參數或假設條件的不確定性對于結果的影響，進而確定結果的分布情況，這樣能避免過設計，可以對構件在工作情況下的安全可靠性給出定量的結果，以保證其安全性。在確定極值響應面函數后，若某系統要求最大輸出為δmax，則可根據式（3）得到極限狀態函數

由上式可知，H（X）≤0為失效模式；反之為安全模式。若極限函數H（X）的均值和方差分別為μH和DH，且服從正態分布，則其可靠性指標β和可靠度R為[7]

對于任意分布函數Φ（·）都可以用MCM計算可靠度，進而可求出各隨機變量的靈敏度[8]。

2 渦輪機匣確定性分析

2.1 有限元模型

某型發動機高壓渦輪機匣的簡化結構如圖3（a）所示，圖中的高壓渦輪襯環是1個敏感元件，膨脹和收縮帶動機匣徑向變形，從而改變葉尖間隙，因此，主要對內層的渦輪襯環進行分析。將機匣襯環的結構簡化為圓筒結構，建立軸對稱模型，取軸截面研究對象，有限元模型如圖3（b）所示，在模型左端固定軸向的自由度，防止產生軸向的剛體位移。

在分析之前，選取發動機從地面啟動—慢車—爬升—巡航這一段[0,215 s]作為計算范圍，取12個關鍵點作為計算點，計算載荷譜如圖4所示。考慮動態溫度影響、機匣材料的非線性導熱系數和非線性膨脹系數，對其進行動態熱結構耦合分析。

圖4 計算采用的載荷譜

2.2 隨機變量選取

機匣在加工和實際使用中其材料參數和工作條件都存在隨機性。若在非線性動態概率分析時隨機變量選取比穩態概率分析復雜得多。例如以下2個非線性變量之間存在一一對應關系

如果分析變量X對系統輸出響應的影響，傳統的做法是先分析各元素xi（i=1,2,…,k）對系統輸出的影響，再對其進行綜合分析判斷。該方法需要對每個變量的元素進行考慮和計算，過程繁瑣，效率低；另外，在對每個元素進行綜合分析時，沒有統一有效的規則，不能保證計算效果和精度。因此，為了選取變量方便，需要對變量進行處理變換。

首先，選取變量X中的元素最大值，記作xmax；X中所有變量均除以xmax，即

再用α和xmax表示X中的各元素，即

這樣就把X中各元素之間的關系轉換為X中各元素分別與最大值xmax的關系，在選取非線性或動態隨機變量時，就可以用最大值xmax代替X中各元素來分析對輸出響應影響，再根據X中各元素與xmax之間的相關性確定X中各元素對系統輸出的影響。如果Y也表示成式（11）形式，那么X、Y各元素之間仍然存在一一對應關系。該方法在概率分析時減少了隨機變量個數，能大大節約計算時間和提高計算效率與精度。在有限元分析中，在相鄰元素間的分析點可以通過式（12）插值方法來處理。假設已知X、Y2個隨機變量相鄰2點xi,xi+1和yi,yi+1，并且存在一一對應關系，則[yi,yi+1]中的任何一點yik相對應的xik為

在選取機匣模型的隨機變量時，材料非線性和溫度載荷動態性都按以上方法選擇其最大值進行概率分析，選擇的隨機變量及其抽樣統計特征見表1，表中參數均服從正態分布，且相互獨立。

表1 機匣隨機變量及其數字特征

2.3 確定性分析

利用表（1）中各變量的均值，對機匣徑向變形進行確定性分析，可得徑向變形量隨時間變化規律，如圖5（a）所示，其中在t=180 s時變形量達到最大0.87 mm，此時機匣徑向變形如圖5（b）所示。

圖5 機匣徑向變形量規律及在t=180 s時變形

3 機匣徑向變形的動態概率分析

3.1 動態概率分析

將隨機變量的統計特征和邊界條件導入有限元模型中，利用Box-behnken矩陣抽樣法得到41組樣本點，其中輸出響應Y的樣本歷史如圖6（a）所示。再利用這些樣本點值擬合極值響應面函數式（3）（忽略小于10-7的系數），得到

建立極值響應面后，不但可得輸出參數與各隨機輸入變量之間的關系，也可以得到與某2個隨機變量的函數關系，比如輸出參量Y與對流系數ac和燃氣溫度tc之間的關系，如圖6（b）所示。

將極值響應面函數代替機匣有限元模型，利用MC法進行1萬次抽樣，得到Y（X）模擬樣本歷史和頻率分布，如圖7所示。從圖7和圖8（e）中可見： 滿足正態分布，其均值約為0.87 mm，標準差為0.033 mm。部分隨機變量的概率分布如圖8所示。從圖8中可見，輸入隨機變量都滿足正態分布。根據表1提供的參數，當置信區間為0.95，設計機匣徑向變形量為0.95 mm時，根據式（8）可得可靠度R約為0.993。

圖6 輸出響應Y樣本歷史及輸入輸出關系

逆概率分析，即計算某可靠度下所需要的變量參數值。在置信水平為0.95下的部分可靠度相對應的隨機變量極限值見表2。

圖7 機匣徑向變化量模擬結果

圖8 各隨機變量概率分布

表2 不同可靠度下隨機變量極限值

3.2 靈敏度分析

靈敏度是用來分析隨機輸入變量的變化對輸出參量穩定性的影響程度，從而決定哪些參數對可靠性失效影響較大。通過對機匣徑向變形分析，得到各參量的靈敏度及其分布，見表3并如圖9所示。

表3 隨機變量的靈敏度

在條狀圖中，最重要的隨機輸入變量（靈敏度最大）在最左邊，其他依次向右排列。從表3和圖9中可見，燃氣溫度tc對機匣徑向變形量的影響最大，起決定性作用，影響概率占97.24%，其他隨機變量的影響很小，其結論幾乎與實際試驗相符。由此為機匣徑向變形與高壓渦輪葉尖徑向間隙設計、優化和控制提供了依據，首先要考慮轉速的影響，再考慮其他因素的影響。

3.3 有效性驗證

為了驗證ERSM的有效性和優越性，基于表1中的隨機輸入變量和統計特征及相同計算環境，分別用MCM和RSM對機匣徑向變形進行動態概率分析，并比較計算結果。在計算過程中，3種方法都是1萬次模擬計算，其中ERSM和RSM的抽樣次數均為41。以MCM計算為基準，其對比結果見表4。

表4 3種方法概率分析結果比較

由表4中可見，本文提出的極值響應面法的計算精度幾乎與MC法的相同，但計算時間遠少于其他2種方法，約為MC法計算時間的1/220、傳統響應面法的1/3。可見，ERSM既能保證計算精度，又可大大縮短計算時間和提高計算效率。

4 結論

（1）介紹了極值響應面法（ERSM）的基本原理，建立了其數學模型，以渦輪機匣徑向變形的動態概率分析為例，加以驗證。該方法能在保持計算精度的前提下，大大節約計算時間和提高計算效率，充分驗證了該方法在結構動態概率分析中的可行性和有效性。

（2）如何利用該方法進行機匣徑向變形設計和優化，還需進一步探索和研究。另外，對于復雜結構（比如航空發動機高壓渦輪葉尖徑向間隙）動態概率分析，采用該方法是否仍能保證高效率需要進一步驗證。

[1]NASA Glenn Research Center.HPT clearance control[R].NASA-CR-2005-213970.

[2]Lattime S,Steinetz B.Turbine engine clearance control systems:current practices and future directions[R].AIAA-2002-3790.

[3]杜小琴,朱惠人,張宗衛，等.渦輪機匣壁面換熱特性的數值計算[J].航空工程進展,2010,1（4）：384-389.

[4]Pietrzyk k,Hagentoft C E.Probabilistic analysis of air in fi ltration in low-rise buildingsl[J]. Building and Environment,2008,43（4）：537-549.

[5]劉志全.航天器機械可靠性特征量裕度的概率設計方法[J].中國空間科學技術，2007（4）：34-43.

[6]Lü Q,Low B K.Probabilistic analysis of underground rock excavations using response surface method and SORM[J].Computers and Geotechnics,2011,38（8）：1008-1021.

[7]張春宜,白廣忱,向敬忠.基于極值響應面法的柔性機構可靠性優化設計 [J].哈爾濱工程大學學報，2010,31（11）：1503-1508.

[8]李昌,韓興.基于響應面法齒輪嚙合傳動可靠性靈敏度分析[J].航空動力學報，2011,26（3）：711-715.

[9]費成巍，白廣忱.航空發動機渦輪葉片徑向變形的概率分析[J].航空發動機，2012，38（1）：17-20.

[10]Kartal M E,Basaga H B,Bayraktar A.Probabilistic nonlinear analysis of CFR dams by MCS using response surface method[J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35 （6）:2752-2770.

[11]Mollon G,Dias D,Soubra A H.Probabilistic analysis of pressurized tunnels against face stability using collocation based stochastic response surface method[J].Journal of Geotechnical&Geoenvironmental Engineering,2011,137（4）:385-397.