基于三種數學模型的平頂山市未來20年人口預測

楊錦偉,董李娜

（1.平頂山學院 數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000；2.河南教育學院 數學系，河南 鄭州 450046）

基于三種數學模型的平頂山市未來20年人口預測

楊錦偉1,董李娜2

（1.平頂山學院 數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000；2.河南教育學院 數學系，河南 鄭州 450046）

綜合運用Malthus、Logistic增長和回歸分析三種模型，采用平頂山市1984-2007年總人口數據對平頂山市2008-2030年的人口發展規模做出預測，結果表明2010年為總人口達到5027022人，2020年達到5197807人，2030年達到5295151人.

平頂山；人口預測；馬爾薩斯；Logistic；線性回歸

平頂山市位于河南省中南部，中原城市群九個中心城市之一.截止到2008年，總人口約500萬，市區人口100萬，平頂山市經濟總量位居全省前五，人口規模位居全省前十，其人口和經濟發展狀況對于河南省具有重要意義.本文綜合運用Malthus、Logistic增長和回歸分析三種模型，對平頂山市未來中國20年的人口發展規模作出預測，旨在為政府制定社會經濟發展計劃提供參考和支持.

1 平頂山歷年人口變化趨勢分析

1957年3月，經國務院批準，設立平頂山市.但直至1996年，轄區幾經調整.1986年2月將許昌地區的襄城縣和郟縣、洛陽地區的臨汝縣劃歸平頂山市，1996年12月，襄城縣劃歸許昌地區.1997年12月18日，國務院批準（國函[1997]111號）設立平頂山市石龍區.至此，全市轄四縣（魯山縣、寶豐縣、葉縣、郟縣）、四區（新華區、衛東區、湛河區、石龍區），代管汝州市、舞鋼市，此后轄區未再調整.從而本文僅研究目前轄區1984年以來的歷年總人口數.

平頂山自1984年至今總人口數逐年增長，而各年人口增長相對平穩.總人口從1984年的3882816人增加到1994年的4584014人，平均年增長率為.1995年以來人口進入了一個較低的增長期，總人口從1995年的4618205人增加到2007年的4985159人，平均增長率為16.43‰，未來相當長的一段時間內，平頂山的總人口將維持持續增長，各年之間的人口增長相對平穩.

為了進一步說明1984-2007年每年的人口增長速度，擬選取年增長幅度指標，即年人口增長率分析.其計算公式為：

年人口增長率=（本年度的總人口-上一年度的總人口）/本年度的總人口.

通過平頂山市1983-2007年的人口數據，計算出該時期平頂山市的年人口增長率，如表2所示.

表1 平頂山市1984—2007年歷年總人口

表2 平頂山市1984—2007年歷年人口增長率

2 模型預測

本文綜合運用Malthus、Logistic增長和回歸分析三種模型，采用平頂山市1984-2007年總人口數據對平頂山市2008—2030年的人口發展規模做出預測.

2.1 Malthus人口模型[1,5]

假定人口隨著時間的增加，以常數增長率按指數規律增長.即

y=x0(1+r)k，其中，x0為初始年人口數，r為年增長率，k為增長年限；

平頂山市1984—1994年的平均年增長率為16.43‰，1995—2004年的年平均增長率為6.72‰.綜合考慮各種因素，假設2005—2020年人口的自然增長率以1995—2004年的年平均增長率水平6.72‰及1995—2004年的最小值3.73‰為參照，取其平均值5.23‰；按照平頂山市2020—2030年人口自然增長率呈現較低的增長趨勢，設定3.12‰為2020—2030年人口自然增長率.

于是他把傀儡扶起，整理傀儡身上那件破舊長衫，又從衣下取出兩只假腿來，把它縛在自己褲帶上，一切弄妥當后，就把傀儡舉起，彎著腰，鉆進傀儡所穿衣服里面去，用衣服罩好了自己，且把兩只手套進假腿里，改正了兩只假腿的位置，開始獨自來在灰土坪里扮演兩人毆打的樣子。他用各樣方法，移動著傀儡的姿勢，跳著，躥著，有時又用真腳去撈那雙用手套著的假腳，裝作摜跤盤腳的動作。他自己既不能看清楚頭上的傀儡，又不能看清楚場面上的觀眾，表演得卻極有生氣。

對應上述年平均人口自然增長率的方案，以2004年為基期年，根據Malthus人口模型，得到2005—2030年平頂山市總人口的預測值（表3）

表3 平頂山市總人口的預測值

綜合平頂山市人口發展趨勢和人口發展目標，預測結果表明到2020年，平頂山市的總人口規模為5330861人，到2030年，將會達到5499538人.

2.2 Logistic增長模型

Logistic模型曲線主要用來描述在環境資源受限制的情況下，生物種群的增長規律.它的基本形式是

式中，x(t)表示t時刻種群的數量；r是種群的內稟增長率（即增長率減去死亡率）；N為環境能容納的種群的最大數量[2].

應用微分方程的分離變量法，可求得式（1）的解析解為

將Logistic種群模型用于人類即為人口模型，現用該模型對平頂山市人口進行分析預測.為了計算（2）中的 r，N，選擇 t0，t1，t2三年的人口數據 x0，x1，x2，其中 t1-t0=t2-t1=τ，則可解得

將 r、N、x0代入（2）得

式（4）即為平頂山市人口數量的預測公式.

把各年份數據代入式（4），通過計算機計算結果見表4.

表4 平頂山市總人口預測表

2.3 線性回歸分析

線性回歸分析[3]是對客觀事物數量關系的分析，是一種重要的統計分析方法，被廣泛的應用于社會經濟現象變量之間的影響因素和關聯的研究.具體來說，就是將已知的數據作為變量抽樣的觀察結果，考察這些數據之間存在的數量關系，給出表達這種關系的方程式，通過最小二乘法估計方程中的參數，最終確定變量之間數學模式.

采用線性回歸分析，利用SPSSV13.0作出人口數和年份的散點圖，1995年后平頂山市人口大致呈線性關系.設Y=aX+b，其中Y表示總人口數;X表示年份序號（1995年為1，1996年為2，依此類推，2004 年為 10，2005 年為 11，2020 年為 26，2030年為36）；a和b為待定系數.將1995～2004年的平頂山市總人口數據代入,進行線性擬合,求得Y=32288X+4597392，R2=0.992，F=1025.851 表明模型建立結果比較理想.

表5 平頂山市總人口預測表

由表5可知，2005～2020年各年份的總人口數.到2020年,平頂山市的總人口規模為5436880人,到2030年,將會達到5759760人.

2.4 模型驗證

本文以1984—2004年人口數據為基礎進行預測，得到2008—2030年的人口發展規模，選用2005—2007年人口進行驗證，比較2005—2007年人口實際統計值和預測值，分析預測誤差大小見表6.

表6 3種模型預測值及誤差

對比分析可知，Malthus人口模型的平均相對誤差為-0.0608%，Logistic模型的平均相對誤差為-0.3841%，線性回歸的平均相對誤差為0.5311%，這說明3種模型均能較好的模擬預測，但前兩者比線性回歸的誤差要小，模擬精度較高，以前兩者所做預測的平均值為預測結果，模擬精度最高.

3 未來人口規模的預測結果

本文采用Malthus人口模型和Logistic模型預測值的平均值作為預測結果，預測在2008年總人口為4988514人，2010年為5027022人，到2020年達到5197807人，到2030達到5295151人.人口增長呈現較穩定的狀態（表7）.

表7 平頂山市總人口預測表

〔1〕姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2005.

〔2〕閻慧臻.Logistic模型在人口預測中的應用[J].大連工業大學學報，2008，12(4):287-291.

〔3〕范賀花,周永衛.鄭州市2009—2020年人口預測與分析[J].河南科學，2009，7(7):783-786.

〔4〕趙先超.基于多種數學模型下的湖南省人口預測研究[J].荊楚理工學院學報，2009，5(5):64-68.

〔5〕楊麗霞,楊桂山,苑韶峰.數學模型在人口預測中的應用——以江蘇省為例[J].長江流域與資源環境，2006，25（3）：287-291.

〔6〕平頂山市統計局.平頂山統計年鑒—2008[M].北京:中國統計出版社，2008.

O213

A

1673-260X（2012）03-0001-03

平頂山學院年青年科研基金資助項目（2008046）；2010年度河南省科技計劃重點項目(102102310299)