概率統計教學研究

韓 偉

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

概率統計教學研究

韓 偉

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

本人通過教學實踐，深感概率統計教與學之難，通過隨機變量函數的分布這一具體內容，分析了學生普遍認為概率統計比較難學的原因，探討了概率統計課程教學內容、方法等方面的教學改革思路，以期為數學課程教學方法改革實踐提供一些參考.

概率統計；隨機變量；函數；教學改革

概率論與數理統計是一門十分活躍的理論性和實踐性都很強的學科，其知識和方法在各個領域都有著十分廣泛的應用，已經滲透到自然科學和社會科學的很多領域.在高等學校，它是理、工、農、醫、經管等許多專業的一門必修基礎課，正在逐漸成為文史、軍事、教育等專業的選修課.通過本課程的學習，使學生初步掌握處理隨機現象的基本理論和方法，培養學生分析問題和解決實際問題的能力，這一點在注重應用型人才培養的今天，顯得尤為重要.概率論與數理統計與學生前期所學的其他數學課程具有不同的特點：由于隨機現象的不確定性，使人感到把握不定，主要表現在概念難以建立，方法難以掌握，思維難以展開，習題無從下手等困惑.在教學中應循序善誘，層層剖析，深入淺出，學用結合.下面就隨機變量函數分布的教學談一點粗淺的體會.

1 概念理論要清楚

對于隨機變量X和連續函數Y=g(X)求隨機變量Y的分布函數的一般方法是FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，再轉化成含有X的事件，利用X的分布即可求解.而離散型隨機變量的分布函數或概率一般使用求和符號表示的，連續型隨機變量的分布函數或概率一般使用積分符號表示的，因此又演變出了求離散型隨機變量的分布函數或概率和連續型隨機變量的分布函數或概率的具體方法.

1.1 對于離散型隨機變量X，P{X=xi}=pi，i=1,2,…，求Y的分布.

1.1.1 若yi=g(xi),i=1,2,…，為單射時，則有

1.1.2 若yi=g(xi),i=1,2,…，不為單射時，即若xi≠xj時，不一定有yi≠yj，則應分別把那些相等的值合并，并根據概率加法公式把相等的pi相加，就得到 的分布列.

1.2 對于連續型隨機變量，設p(X)為隨機變量X的密度函數，Y=g(X)為連續函數，求Y的分布函數或密度函數.

1.2.1 分布函數法 也是求Y=g(X)的分布函數（或密度函數）的通用方法

a）先求Y的分布函數

b）若求Y的密度函數，需對分布函數求導

1.2.2 公式法 對于單調可微函數Y=g(X)，Y的分布函數（或密度函數）可用下面公式求得

其中 x=g-1(y)是 y=g(x)的反函數，α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}

在計算隨機變量的函數的分布時，應注意以下幾點：

1）首先要準確求出Y的取值范圍.一般地，由Y=g(X)和X的取值范圍即決定了Y的取值范圍.但是對于離散型隨機變量，要注意相同值的合并，相同值之間是“或”的關系.對于連續型隨機變量，若Y=g(X)不是單調函數時，往往需要將區間化成有限個或可列個單調區間.然后在每個單調區間上應用公式；

2）應正確計算Y的分布.對于連續型隨機變量X，若Y=g(X)為一般的連續函數時，要使用公式（3），先求出FY(y)，再求pY(y)；

3）在計算連續型隨機變量X的函數Y=g(X)的分布函數（或密度函數）時，得到的往往是分段函數，一定要注意討論.

2 例題要由淺入深，富有代表性

離散型的題目較簡單，在此不述.

例1 已知隨機變量X的概率密度為

求隨機變量Y=sinX的概率密度.

接下來求積分，再求導即可.

對于這樣的問題，要引導學生作出圖像，簡單明了.

舉一反三：

1）設隨機變量 X在(0,π)內服從均勻分布，即 X～U(0,π)，試求Y=sinX的分布函數G(y)和密度函數g(y).（課本的練習題）

2）設隨機變量 X 在(-π/2,π/2)內服從均勻分布，試求Y=CosX的密度函數fY(y).

例2 對球的直徑X做近似測量，設其值均勻分布于區間[a,b]，試求球體積Y的密度函數.

實驗儀器:H 2 S檢測儀:PN-2000在線式H 2 S檢測儀;反應釜:江蘇海安石油科技耐高溫高壓抗腐蝕不銹鋼反應釜;p H計:上海雷磁PHBJ-260便攜式p H計。

又如：設一設備開機后無故障工作的事件X服從指數分布，平均無故障工作的時間EX為5小時，設備定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機.試求該設備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數FY(y).

例3 設隨機變量X的分布函數FX(x)為嚴格單調連續函數，證明Y=FX(X)服從均勻分布.

說明：當 y<0 時，FY(y)=0，當 y≥1 時，FY(y)=1，當 0≤y<1時，

這個例子說明一維連續型隨機變量不同的密度函數p(x)可以對應同一個分布函數FX(x).另一方面，這是一個十分典型的例題，可以有多種變形，如：

1）設隨機變量X服從(a,b)上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0).證明Y服從均勻分布.

2）設隨機變量X服從參數為2的指數分布，Y=1-e-2x，在區間(0,1)上服從均勻分布.

例4 設隨機變量X服從 (-1,1)上的均勻分布，Y=sgnX，求Y的概率分布.

又如：設隨機變量X服從(0,2)上的均勻分布

求Y的分布函數.

顯然，Y不是離散型隨機變量，Y也不是連續性隨機變量.Y的分布函數FY(y)在Y=1處不連續.

在教材中，一般只討論離散型隨機變量和連續型隨機變量，在二者之間還有一種隨機變量，由于本身較復雜，應用也少，故沒有討論.對于隨機變量函數，若隨機變量是離散型的，其函數一定是離散型的；若隨機變量是連續型的，其函數也可是離散型的，也可是連續型的，也可是非離散非連續型的.

概率統計來源于生活，具有深厚的應用基礎，其有些內容使人感到是實踐經驗的總結，有點像文科課程，而不像數學；另外，它又具有嚴密的理論體系，抽象，難于理解.正是這種二重性，使概率統計成為難教難學的“邊緣”學科，因此，在教學上要把握好利用好它的特點，應用性強，要結合實踐來學，學以致用；理論性強，要把握住它的整體框架，在這個框架下找準用好每一個概念、定理、公式，并掌握好它們之間的區別和聯系.

概率統計討論的是不確定性問題，它的理論、方法和思維方式與以往所學的確定性理論都有很大的不同，學生感到很陌生，難以理解，無從下手，因此，教學中要注重概念的交代和比較辨析，注重理論的嚴密和實用，注重方法的演示和訓練.循序漸進，由淺入深，層層剖析.使學生掌握好概率統計這個無處不用的“萬能”工具.

〔1〕沈京一.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

〔2〕王麗霞.概率論與數理統計[M].大連：大連理工大學出版社，2010.

〔3〕茆詩松.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2005.

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1673-260X（2012）03-0006-02