b值橫截距法在汶川地震最大余震震級預測中的應用

賈朝勇，潘玉榮

（蚌埠學院 數理系，安徽 蚌埠 233030）

b值橫截距法在汶川地震最大余震震級預測中的應用

賈朝勇，潘玉榮

（蚌埠學院 數理系，安徽 蚌埠 233030）

本文使用8.0級汶川大地震震后四天內不小于3.0級余震序列，利用最小二乘法擬合除去主震的震級-頻度關系式中的未知參數，進行了相關系數檢驗和殘差檢驗.計算出了震級-頻度關系式圖形在橫軸上的截距，該截距就是估算的最大余震震級，結果表明按這種方法估算出的最大余震的震級與實際已發生最大余震的震級很接近.

汶川地震；b值；最小二乘法；最大余震

一次強震（主震）后，巖層中剩余的能量將持續一段時間緩慢地釋放出來，因此就會發生一系列的余震.余震趨勢是震區人民十分關心的事，也是專家和學者們研究的一個重要課題.由于基礎設施受到了主震的嚴重破壞，因而隨后發生的余震特別是最大余震的危害將很大，因此強余震的預報也非常重要.強余震的預報不但能減少災后的損失，還能增加對地震發展過程的認識.

對余震序列的研究，是理解地震過程的重要途徑.一些學者利用大森公式對主震后余震次數進行了研究[1-2].我國學者利用灰色預測理論對強余震發震的時間進行了的研究，結果表明灰色預測理論對6級以上余震具有較好的預測效果[3-5].還有很多學者根據余震序列運用震級-頻度關系式和b值對主震后強余震進行探索，結果表明對某些主震后的強余震具有一定的可行性[6-9].本文將對汶川余震數據合理取舍，并利用最小二乘法對震級-頻度關系式中的a,b值進行估算，進行了相關系數檢驗和殘差檢驗，再應用b值橫截距對最大余震進行了估計.

1 b值橫截距法及相關的統計檢驗

1.1 G-R關系式及b值的計算

地震研究中最重要的是震級-頻度關系式 （G-R關系式）：

a和b反映了一定地區的地質構造和地震活動情況，能根據該地區一段時間的地震目錄估算得到，其中b反映了該地區某段時間內地震頻數的相對比例關系.M是震級，N（M）是某段時間內發生的不小于M級的地震次數.

在利用G-R關系式研究強余震時，a,b值的計算非常重要，最小二乘法是估算a和b這兩個常數最實用的方法之一.

最小二乘法是一種數學優化技術，通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配.在研究兩個變量（x,y）之間的相互關系時，通常在實驗的過程中得到一系列成對的觀察數據（x1,y1）,L（xn,yn）；將這些數據描繪到平面直角坐標系中，若這些點在一條直線附近，可設這條直線方程為：y贊=kx+h，其中k,h是待求常數.

1.2 相關系數檢驗和殘差檢驗

一般地，在使用最小二乘法估計參數（x1,y1）,L（xn,yn）之前，要對有序數據組 進行相關性進行檢驗.由概率論與數理統計[10]知：相關系數公式為：

ρ的大小表示變量之間線性關系強弱的程度，通常|ρ|≥0.8時，認為兩個變量有很強的線性相關性.當ρ越接近于1表明變量線性關系越強，從而說明最小二乘法擬合得越好.

殘差是一元線性回歸方程計算得到的預測值與實際樣本值之間的差距，即

在一元線性回歸模型中，由多個ei（i=1,2,L,n）構成的序列稱為殘差序列.殘差檢驗是一元線性回歸方程中的重要組成部分，其出發點是：如果一元線性回歸方程能夠較好地反應被解釋變量的特征和變化規律，那么殘差序列中應不包含明顯的規律性和趨勢性.檢驗殘差是否為服從均值為0的正態分布、檢驗殘差是否為等方差的正態分布、檢驗殘差序列是否獨立、借助殘差探測樣本中的異常值[13].圖形分析和數值分析是殘差分析的有效工具.

2 b值橫截距法在汶川余震中的應用

b值橫截距法在研究主震-余震型地震效果較好，因此判斷地震類型很重要.自1920年以來，中國大陸發生的所有M≥8地震類型都是主震-余震型，這是因為主震震級大、能量釋放徹底，因此再發生震級相當的地震的可能性小；歷史上記載川滇地區發生的大地震都是主震-余震型，而地震類型在空間上又具有一定的穩定性[11].基于以上兩點可以推測汶川8.0級地震是主震-余震型的可能性較大.

應用G-R關系式對a、b值進行估算時,要注意所用地震序列滿足以下條件[6-7]:（1）確定余震的起始時間.（2）余震數必須大于50.（3）確定起始震級.（4）對（1）式應用最小二乘擬合的數據數要大于5個.（5）最大震級與最小震級之差必須大于1.5級.（6）震級要用統一標度.

主震-余震型地震的余震初期，余震頻度高、強度大，求得b值比較可靠.隨著時間推移，余震頻度衰減，強度降低，會使b值顯著變小.因此，用b值橫截距法估計強余震震級時，使用前期序列會得到較好的結果.基于以上因素，本文選取的地震數據的時間段為2008年5月12日至2008年5月15日.數據來自中國地震臺網中心給出的地震序列目錄,震級統一標度為Ms.

實際地震資料因受各種因素的影響常與G-R關系式有一定的偏差.由于小震漏記或沒有測到，常造成在小震級一端會偏離G-R關系式，出現G-R圖形小震級段“掉頭”；對于大震資料，由于統計時間不夠長，會造成大震部分缺失，常造成在大震級一端會偏離G-R關系式，出現G-R圖形大震級段“彎曲”.因此，在確定b值時需適當舍去偏差較大的兩頭數據，使b值的計算結果偏差盡量減小.

為了避免G-R圖形出現“彎曲”，對于小震級一端，由于b值的計算與起算震級的選取有密切關系，為了避免個人選取起始震級的隨意性，盡量減小誤差，增強b值的準確度，本文采取了拋投法[12].具體做法是：起始震級從2.5級開始，震級分檔為0.2級，求出這組數據（M,lgN（M））的相關系數.再把起始震級調為2.6級，震級分檔仍為0.2級，求出這組新數據（M,lgN（M））的相關系數.如此反復多次，相關系數會從較小值逐漸增大，達到極大值后又逐漸減小.取相關系數達到極大值時算得b值，從而得到擬合最好的那一次.結果表明：極大值點在3.0,即起始震級為3.0級，該震級恰好是有感地震的初始震級，這也與地震臺網精確監測能力相吻合.為了避免G-R圖形“掉頭”現象，對于大震級一端，本文采用了剔除8.0級主震.

圖1 汶川8.0級地震后四天的余震序列G-R關系圖

因此G-R關系式應用的數據為：震級統一標度為Ms，起始震級為3.0級，震級分檔為0.2級，剔除8.0級主震的汶川后四天的余震數據.以震級M為橫坐標，lgN（M）為縱坐標畫出散點圖，通過圖像可以發現散點圖幾乎位于一條直線上（圖1）.根據（1）式，利用最小二乘法計算出的常數a=5.2827，b=0.7974，計算出相應的相關系數|ρ|=0.9974，這充分說明了M與lgN（M）線性關系密切，直線吻合得好.

在圖2中，隨著標準化預測值的變化，殘差點在0線周圍隨機分布，因此不存在異方差現象.此外還可以通過標準化殘差的非參數檢驗，檢驗表明標準化殘差與正態分布不存在顯著差異，可以任務殘差滿足了線性模型的前提要求.

最后通過延長直線lgN（M）=5.2827-0.7974,得到直線在橫截距為6.6，即估算未來最大余震震級Mm=6.6.這與實際2008年5月25日發生的最大余震6.4級很接近，這也表明b值橫截距法在汶川最大余震預測中的的應用效果非常好.

圖2 汶川8.0級地震序列G-R關系式回歸分析的殘差圖

3 結論

本文利用最小二乘法估算了G-R關系式中的常數a，b，并進行了相關系數檢驗和殘差檢驗.再用b值橫截距對可能最大余震進行估計，結果表明估算出的最大余震6.6級與實際已經發生的最大余震6.4很接近，這表明該方法對最大余震的估算是可行的.

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P315.8

A

1673-260X（2012）09-0159-02

安徽省高等學校優秀青年教師人才科研資助項目（2012SQRL215,2010SQRL115）