在本科院校數學專業主干課程中滲入數學建模思想的探討

李冠軍，劉謝進

（淮南師范學院 數學與計算科學系，安徽 淮南 232001）

在本科院校數學專業主干課程中滲入數學建模思想的探討

李冠軍，劉謝進

（淮南師范學院 數學與計算科學系，安徽 淮南 232001）

本文主要探討了在數學專業主干課程的教學中培養學生數學建模思想的必要性和可行性，并從教學環節的四個方面提出了滲透數學建模思想的一些方法.

數學模型；教學改革；教學設計

1 引言

由于現代科學技術的迅猛發展,人們的教育觀念也在不斷地更新,數學教學過程已經不再是知識的灌溉,而是在如何發現問題和應用所學習知識來解決實際問題的能力上面來,數學建模活動正是聯系理論數學知識與實際問題的橋梁,它可以引導學生把實際問題抽象成具體的數學模型,培養學生的應用能力、創造性思維并提高學生的綜合素質.培養創新性人才的目標,是當前高校數學教學改革中的重要課題.本文就是在此基礎上,結合我們學校的實際情況,就如何在大學數學類課程中融合數學建模的思想提出了一些想法和建議.

2 在數學課堂教學中培養數學建模思想的必要性

現在,數學建模活動在各高校廣泛開展,為應用人才的培養創造了很好的環境,而且全國大學生數學建模競賽自從1992年以來,每年的參賽規模平均以30%的速度增加,競賽雖然發展得如此迅速,但是參賽者畢竟還是很少一部分學生,要想使它具有更強大的生命力,必須與日常的教學活動結合起來.中國科學院院士、復旦大學教授李大潛提出“數學建模的思想融入數學類主干課程”的建議[1].數學類課程大都內容多、課時短,基本都采取滿堂灌的方法來講授課程,否則不能完成大綱所規定的內容.因此，研究如何在實際的教學過程中加強數學建模的思想在大學數學類課程中的應用顯得特別重要[2、3、4].

3 如何將數學建模思想融入課程教學中

3.1 利用數學知識的實際背景還原現實模型

數學中的概念本身就是現實模型,其應用性卻往往隱藏在現實情景背后.因此,可通過選取一些生動形象的實際例子來還原現實.例如矩陣乘法的定義，設計如下現實背景:

某公司生產甲、乙、丙三種產品，生產成本由原材料費用、人工費用和其他費用三項構成.

如何求該公司2009年各季度的原材料費用，人工費用和其他費用？用下面兩個矩陣表示表1和表2.

表1 每種產品的每項費用預算（單位：百元）

表2 該公司2009年各季度產品計劃生產數（單位：臺）

第一季度原材料費用：10×400+30×200+20×580=21600.

第一季度人工費用：2×400+4×200+5×580=4900.

第一季度其他費用：1×400+2×200+2×580=1960.

對其他各季度作類似的計算，可得到下表：

表3 該公司2009年各季度生產成本預算表（單位：百元）

把上表中數據寫成x×4矩陣C

于是，矩陣C的第i行第j列元素cij表示的是該公司2009年第j季度、第i項費用，恰好是矩陣A的第i行的每個元素與矩陣B的第j列的對應元素乘積之和，把矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的乘積.由此得到矩陣乘積的定義.這種教學過程,不僅使學生記住它的定義,更重要的是真正了解到問題的實質,學會從實際問題中建立數學模型,進而解決問題.

3.2 在應用問題教學中融入數學建模思想

對數學問題進行建模,就是從應用的角度來處理數學問題[5].例如微分方程的應用教學,可放在讓學生掌握建立數學模型的一般過程上.以“電路模型”為例[6]：

(1)提出問題.如圖所示的R-C電路，探討電壓與時間的變化規律.

(2)模型假設.設電源電壓為E，在開關K合上前電容C上沒有電荷，電容C兩端的電壓為零，把開關合上，電源對電容充電，電容C上的電壓Uc逐漸升高.

(3)建立模型.根據閉合回路的基爾霍夫第二定律：

在電容C充電時，電量Q逐漸增多，由Q=C·Uc得到

代入得到Uc滿足的微分方程

(4)求解模型.方程（1）是變量分離方程，變量分離得到

在實際教學過程中，許多教學內容都可以引入相應的數學模型，如導數、微分、積分及其應用中，可編制商品存儲費用優化問題、洗衣機的節水問題等.函數應用問題中，引入“復利、助學貸款”等實際生活中的例子.

3.3 在定義教學中融入數學建模思想

定義是數學教學的重要內容，在具體的教學中,可以講述概念產生的歷史背景.通過對實際問題的分析,把它轉化為數學問題,然后找出解決問題的方法,最后引入數學概念.下面以定積分定義的教學為例,談談如何融入數學建模思想.

設 f∈[a,b]，且 y=f(x)≥0.由曲線 y=f(x),直線 x=a,x=b以及x軸所圍成的平面圖形（圖1），稱為曲邊梯形.下面求曲邊梯形的面積S.

分析：在初等幾何中，我們只會計算由直線段和圓弧所圍成的平面圖形的面積，現在計算由曲線y=f(x)構成的曲邊梯形的面積，回憶圓面積是用一系列邊數無限增加的內接或外切正多邊形面積的極限來定義，用類似的方法，借助于已知的矩形的面積定義曲邊梯形的面積.

圖1

圖2

具體做法如下：

1°分割.在區間[a,b]內任取n-1個分點，依次為a=x0

2°近似求和.在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi，作以 f(ξi)為高，[xi-1,xi]為底的小矩形.當分割[a,b]的分點較多又分割的較細時，可用第i個小矩形的面積f(ξi) xi近似代替第i個小曲邊梯形的面積Si，于是這n個小矩形面積之和可作為該曲邊梯形面積S的近似值，即

3°取極限.上式右邊的和式既依賴于對[a,b]的分割，又與所選點ξi有關.因此，將[a,b]逐次分下去，使小區間的長度xi無限小，則不論ξi如何選取,n個小矩形面積之和xi越接近于 S.這樣，當分點無限增加，若此和式與某一常數無限接近，而且與分點和點ξi的選取無關，則把此常數作為曲邊梯形的面積S.從步驟上看，分割→取近似→求和→取極限這四步，從表達式上抽象成數學模型在實際很多問題都歸結為求這種特定形式的和式的極限，將其一般化，就可引出定積分的定義.

3.4 數學建模思想在作業安排中的滲透

目前教材中的習題形式單一陳舊、缺乏應用性.學生做作業幾乎就是套用定義、定理解決問題.為彌補這一缺陷，在作業安排上也可融入數學建模的思想方法.如：適當布置一些開放型的應用題，給學生更大的創造空間.因此,在作業中布置一些與其它學科相聯系或從實際生活中采集來的開放型應用題，通過完成這種作業,使學生感受到數學的強大應用性.也可以適當布置一些用數學軟件(Matlab和Mathematic)進行處理的數學實驗題.如函數圖形的描繪、定積分的計算、重積分的計算等，可讓學生體驗到計算機應用技術的價值,提高數學學習的興趣及探究問題的能力.

4 結束語

因此，我們認為在教學中體現數學建模的思想，注重培養學生解決實際問題的能力，是數學教學改革的發展方向.只要堅持下去，一定會取得顯著的成果.

〔1〕李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學,2006,（1）:9-11.

〔2〕賈曉峰，等.大學生數學模型競賽與高等學校數學教學改革[J].工科數學,2000,（2）:79-82.

〔3〕何偉.在高等數學教學中如何體現數學建模的思想[J].數學的實踐與認識,2003,（10）:142-144.

〔4〕余揚,石義松.數學建模思想在高等數學系列課程教學中的作用 [J].湖北大學學報,2001,（3）:210-212.

〔5〕姜啟源.數學模型[M].北京:高等教育出版社,1997.

〔6〕王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1998.

G642

A

1673-260X（2012）01-0019-03

淮南師范學院精品課程資助項目（JPKC200802）；淮南師范學院科學研究項目（2010LK06）