FLMS算法的Matlab設計與仿真

張立萍

（赤峰學院 物理與電子信息工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

FLMS算法的Matlab設計與仿真

張立萍

（赤峰學院 物理與電子信息工程學院，內蒙古 赤峰 024000）

自適應濾波技術已經被廣泛應用于數字通信、雷達和工業控制等領域.本文以隨機干擾噪聲信號作為研究對象，利用Matlab工具設計了FLMS去噪自適應濾波器的程序，并進行了仿真，為硬件實現提供了有力的參考.

自適應濾波器；LMS算法；FLMS算法

1 快速塊FLMS算法簡介

LMS算法是用均方誤差來做為性能指標，也就是使濾波器的期望輸出值和實際輸出值之間的均方誤差(Mean Squared Errer,MSE)達到最小.

設自適應濾波器的輸入矢量為：

加權矢量(即濾波器參數矢量)為：

濾波器的輸出為：

誤差信號e(n)定義為期望輸出d(n)與濾波器實際輸出之間的誤差，即

W(n)是常數矢量的情況下，其均方誤差可表示為

權矢量遞推公式，即LMS算法遞推公式為：

雖然LMS算法計算簡單，但是收斂速度慢.為了克服LMS算法收斂緩慢的問題，實現具有長記憶功能的自適應FIR濾波器，提出了塊LMS處理算法，就是將L個權系數構成一塊.在處理每個塊時，令各權值保持不變，而每個塊處理完后權值才改變.設第k塊處理期間自適應濾波器的輸出為

其中，W(k)=[w0(k),w1(k),…,wL-1(k)T為第k塊處理期間的時域權矢量，其各元素wl(k)(l=0,1,…,L-1)保持為常數.第k塊處理后，權矢量調整的迭代公式為

式中?(k)向量是互相關的.

通過數字信號處理理論可知：快速傅立葉變換（即FFT算法）是實現卷積和相關的快速運算，實現FFT可以采用重疊保留法和重疊相加法，其中重疊保留法較為常用.盡管重疊保留法的重疊部分長度可為任意值，但是運算效率最高的是1/2重疊（即塊的大小等于系數的個數）.快速LMS（即FLMS）算法是時域塊處理LMS(BLMS)算法在頻域的快速實現.下面將式(2)的輸出改寫成濾波器輸入與權系數的線性卷積公式如下：

式（4）線性卷積可通過重疊保留法，用FFT實現.由于1/2的數據重疊是最有效的，即在M(M=L)點濾波器抽頭系數后補M個零，再進行N點的FFT，這里N=2M，即：

令X(k)為第k-1塊與第k塊輸入經2M點FFT后所構成的對角陣，即：

這樣，式(4）線性卷積的頻域實現如下式，它為第 塊的濾波輸出值,是 維向量：

因為最前面的M個元素進行循環卷積，式中只需保留最后M個元素即可.

下面考慮式(3)中?(k)的線性相關.對于第k塊，定義M'1期望響應向量：

及相應的M'1誤差信號向量：

如果注意到，在式(7)所述線性卷積實現中，開始的M個元素已從輸出中廢棄掉，則可將誤差信號e(k)向量變換到頻域，得

由于線性相關實際上是與線性卷積相似的一種運算形式，因此可將重疊存儲方法用于矢量?(k)中，則?(k)可用IFFT計算如下：

最后，頻域權矢量調整的迭代公式為：

公式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)就是 FLMS 自適應濾波算法，其信號流圖如圖1所示.實際上FLMS算法是一種變換到頻域的快速算法，它與塊LMS算法有相同的收斂特性，而FLMS算法的收斂速率可以在不影響最小均方誤差條件下，通過調節每個可調權值的步長來進行調節和改善.

圖1 FLMS算法的信號流圖

2 FLMS算法的Matlab設計與仿真

本文利用MATLAB工具箱編寫.M文件FLMS.m對快速塊LMS算法進行設計，并利用繪圖函數得到仿真波形，從而驗證算法的可行性.其中，各參數代表的含義如下:

FLMS算法中權向量{w}的更新表達式在M文件中的實現代碼為:

仿真時，正弦信號為sin(0.01*Pi*t)，其中t=1:dian，加入標準白噪聲信號作為干擾信號，在Matlab中運行FLMS.m文件，得到快速塊LMS算法的仿真結果如圖2.

圖2 FLMS算法的輸入和輸出曲線

3 結束語

下面將快速塊LMS(即FLMS)算法與傳統LMS算法的計算復雜性進行比較.由于濾波器的實現快慢主要取決于乘法的次數，下面以塊長度為N時兩種算法需要的總乘法次數進行比較.具有N個抽頭權值（實數）的傳統LMS算法，每計算一個輸出需要N次乘法，同時更新一次權值需要N次乘法，所以每次迭代共要2N次乘法，而對于濾波器的N個輸出值，共需要2N2次乘法.現在分析FLMS算法所需的乘法次數：每個M(M=2N)點快速傅立葉變換（即FFT）需要約Mlog2M次乘法運算，如果要執行5次頻率變換，共要計算5Mlog2M次乘法，計算頻域輸出需要4M次乘法，而且計算互相關（與梯度向量估計有關）運算也需要4M次乘法，快速塊LMS算法總共需要的乘法次數為

5Mlog2M+8M=10Nlog2(2N)+16N=10Nlog2N+26N

如果取抽頭值為1024，傳統LMS算法所需乘法次數大概是200萬次，快速塊LMS算法所需乘法次數大概為12.6萬次，計算速度快了15倍左右.

〔1〕杜培宇.基于自適應濾波器的噪聲抑制技術研究[D].碩士學位論文.山東大學，2005.

〔2〕黃埔堪，陳建文，樓生強.現代數字信號處理[M].北京：電子工業出版社，2003.

〔3〕沈福民.自適應信號處理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2001.

〔4〕王建中，羅欣武，劉文江，等.一種改進的DMT系統頻域均衡器[J].計算機工程與應用，2006（24）：98-101.

〔5〕齊海兵.基于FPGA的橫向LMS算法的實現[J].國外電子元器件，2007（1）：31-34.

TN91

A

1673-260X（2012）11-0038-02