短期聚合理賠總量的平移對數正態分布的近似計算

辛士波

（北京工商大學，北京 100048）

0 引言

記隨機變量Ci為某類保單第i次個別理賠額，隨機變量N為某個時段（例如一個會計年度）這類保單發生理賠的次數，則短期聚合理賠總量S為:

式中C1,C2,…同分布，N與C1,C2,…獨立，當N服從參數為 λ的 Poission分布 P(λ)時稱 S服從復合Poission分布。S的數學期望、方差和偏斜度為:

式中 pj(j=1,2,3)是Ci的 j階原點矩[1]。

關于S的近似，當Ci有偏斜時，文獻[2]給出了應用密度函數為g(x-x0;α,β)的平移伽瑪分布做近似的方法，式中的α和β是伽瑪分布的參數，x0是平移量。x0、α和β與λ和 pj(j=1,2,3)的關系為:

本文選取另一個有偏分布——平移對數正態分布研究S的近似，并對兩種近似方法做出比較。

1 平移對數正態分布

1.1 可行性分析

關于S的近似，當Ci有偏斜時，文獻[2]給出了應用密度函數為g(x-x0;α,β)的平移伽瑪分布做近似的方法，g(x-x0;α,β)中的α和β是伽瑪分布的參數，x0是平移量。使用平移伽瑪分布近似短期聚合理賠總量的原因在于平移伽瑪分布具備右偏特征，且依據近似原理得到的參數估計式簡單易算，并沒有相關理論研究說明平移伽瑪分布近似的效果是最好的，故有理由認為其它具備右偏特征的分布也可以作為S的近似分布。

平移對數正態分布是將對數分布平移后得到的分布，具備了對數正態分布右偏的特征。對數正態分布是非壽險精算中常用的分布，其地位不亞于伽瑪分布，其取自然對數變化之后服從正態分布的特征使其地位在某些情況下更優于其它右偏分布，只是對數正態分布的數字特征較伽瑪分布復雜，但隨著計算機高度發展的今天，使原本復雜的計算變得越來越簡單，精度也更加精確。

綜述所述，使用平移對數正態分布作為短期聚合理賠總量的近似分布是可行的。

1.2 概率統計性質

平移對數正態分布是將對數分布平移后得到的分布，令隨機變量X服從平移對數正態分布，若對數正態分布logN(μ,σ2)的密度函數為 f(x;μ,σ2)[3]，參考平移伽瑪分布的記法，記平移對數正態分布為logN(x-x1;μ,σ2)，密度函數為 f(x-x1;μ,σ2)，且其數學表達式為:

（4）式中，f(·)為平移對數正態分布的密度函數，μ、σ2為參數，x1是平移量。

平移對數正態分布logN(x-x1;μ,σ2)的期望、方差及偏斜度見（5）式。

根據平移對數正態分布的性質，服從平移對數正態分布logN(x-x1;μ,σ2)的隨機變量X取自然對數之后的lnX應服從平移正態分布，且平移量x1轉化為lnx1，而平移正態分布是正態分布平移之后得到，故在logN(x-x1;μ,σ2)平移量x1已知的前提下，可根據轉換后的平移正態分布數據進行參數μ和σ2的參數估計和假設檢驗。

2 近似公式

將（5）式用于S的近似，可得：

（8）式是以λ和 pj(j=1,2,3)為已知，x1、r和t為未知的方程組，在求解t的過程中需要解一元六次方程，注意到因為σ＞0，所以取t＞1。求解（8）式得到 x1、r和t后可依（7）式求得μ和σ2，從而求得LogN(x1,μ,σ2)的全部參數。

3 近似效果對比

設個別理賠額Ci服從指數分布Exp(θ)，所以：

將（9）式代入方程組（8）式的左端，經化簡，t（t＞1）由方程：

可求得 x1和r，再依（7）式求得 μ和 σ2。

為對比平移對數正態分布和平移伽瑪分布對于S的近似效果，將（9）式代入（3）式，求得平移伽瑪分布的參數值為

現取θ=1,2,3,4,5，λ=6，依（10）式計算平移伽瑪分布的參數 x0、α和β，依（7）式和（8）式計算平移對數正態分布的參數x1、μ和σ2，計算結果見表1。

依表1的參數值，應用Matlab6.5軟件[4]，計算λ=6時不同θ和θ=6時不同λ對應的平移伽瑪分布和平移對數正態分布的分布函數值見表2，表2中①表示平移伽瑪分布，②表示平移對數正態分布。

表1 λ=6時不同θ對應的平移伽瑪分布參數和平移對數正態分布參數

表2 λ=6時不同θ對應的平移伽瑪分布和平移對數正態分布的分布函數值

表2的計算結果說明，短期聚合理賠總量S的平移伽瑪分布近似和平移對數正態分布近似的分布函數值差異較小，特別是對于給定的θ，這兩個分布的分布函數隨著x的增大，越來越接近，表明將對數正態分布用于近似短期聚合理賠總量S具有良好的右尾部近似性質，而且短期聚合理賠總量模型中，右尾部對應的是大額賠付。

4 結論

對于短期聚合理賠總量S的近似，原有的研究結果表明，平移伽瑪分布近似是一種有效的近似方法。本文說明，在一定范圍內短期聚合理賠總量的平移對數正態分布近似是可行的，進而指出短期聚合理賠總量的平移伽瑪分布近似的不唯一。

[1]王曉軍,江星,劉文卿.保險精算學[M].北京:人民大學出版社，1995.

[2]謝志剛,韓天雄.風險理論與非壽險精算[M].天津:南開大學出版社，2000.

[3]茆詩松.統計手冊[M].北京:科學出版社，2003.

[4]張志涌,徐顏琴.Matlab教程－基于6.x版本[M].北京:北京航空航天大學出版社，2002.