雙周期復平面上的Cauchy-Pampeiu公式

宋偉林，劉 華

（天津職業技術師范大學汽車與交通學院，天津 300222）

復變函數方法是解決偏微分方程的一個有效工具。Bekua和華羅庚[1]在20世紀六七十年代對這一領域進行了全面深入的研究，以Cauchy-Pompeiu公式為基本工具，針對具體的區域給出解的明確積分表達式。相對于以廣義函數為基礎的定性討論和以有限元法為代表的數值解法，復方法具有鮮明的特點。但后來由于對該方法所涉及的奇異積分缺乏合適的計算手段，該領域有較長時間的沉寂。近年來，由于計算機和計算技術（如奇異積分數值計算和邊界元法）的發展，偏微分方程的復方法又引起了人們的注意。如，Abdymanapov等[2]在2005年研究了第一象限區域上的Schwarz問題；Wang[3]在2010年討論了平面上扇形區域上的邊值問題。

雙周期平面上的偏微分方程理論有獨特的地位。一方面，它的基本胞腔可以看做是復平面上的一個有界區域；另一方面，它又可以看做是一個非平凡的黎曼面。從前者看，困難在于雙周期平面上不存在非平凡的全純函數；從后者看，黎曼面的非線性會影響方程的可解性。本文主要研究帶有雙周期函數核的雙周期復平面上的Cauchy-Pampeiu公式，希望借此解決雙周期復偏微分方程。

1 預備知識

在這里需要給出一些基礎知識。首先給出Green公式的復形式，即Gauss定理：設w∈C（1D；C） ∩C（；C）是復平面C 上正則區域D上的函數，則有

偏微分方程的復變方法理論中最重要的工具是Cauchy-Pompiu公式，它是通常的Cauchy公式對非解析函數的推廣。

正則區域上的Cauchy-Pompeiu公式：設D?C是一個正則區域，w∈C（1D；） ∩C（） ，設ζ= ξ+ ηi，則對z∈D有下面式子成立：

雙周期函數是數學研究的重要對象，特別，解析雙周期函數即為人們所熟知的橢圓函數，下面給出本文需要的相關性質。

雙周期函數：設w1，w2是兩個復數，滿足Im（）≠0。復函數f（z）稱為以2w1，2w2為周期的雙周期函數，若滿足條件：

z′=z+2mw1+2nw2（n，m均為整數）稱為與z周期合同的點。由非周期合同的點構成的最大的平行四邊形稱為周期平行四邊形。特別地，以±w1、±w2為頂點的周期平行四邊形稱為基本周期四邊形，記做P。函數

稱為Weierstrass的ζ函數，其中Ωmn=2mw1+2nw2，且表示對一切m，n=0，±1，±2，L相加，但m，n不同時為0。

Weierstrass函數的一些性質：

ζ（z）是一個亞純函數，以Ωmn（包括m=n=0）為單極點，且主部為1/z-Ωmn，但它不是雙周期函數，而有

式中：ηj=ζ（wj）為常數，而且它在非零的周期合同的任意點是絕對收斂的。

因此，可以說對于任意非零的周期合同的點z，ζ（z）有界。

2 雙周期平面上的Cauchy-Pompeiu公式

設P為上面提到的基本周期四邊形，其邊界不經過函數的極點。根據正則區域上的Cauchy-Pompeiu公式的共性知道，在討論雙周期平面上的Cauchy-Pom peiu公式時要有相當于Cauchy核的雙周期核，它應與1/（t-z）相類似，在t=z處有一階極點且留數為1。函數ζ（t-z）有此性質，但不是雙周期函數。為了保證雙周期性，這里用函數ζ（t-z）+ ζ（z）[4]，但這樣會引入單極點z=0。在后面的討論中會看到這一奇異性對解決問題并無妨礙。

命題1：設函數g為一復函數，g∈C（1P；C） ∩C（；C） ，設t=x+iy，則對于z∈P有下面公式：

證明：這里僅就式（7）證明，式（8）的證明過程與（7）相似。

易知函數g（z+reiθ）和在θ∈[0，2π]上是有界的，所以當r→ 0時，上面積分→ 0。結合上面等式（9）～（14）得：

命題得證。

在應用中，常處理邊界位于基本胞腔內部的區域上的問題，為此我們需要定義如下推論。

推論：設D為P中一區域，且其邊界不經過ζ（t-z）的極點，f為一復函數，f∈C（1D；C） ∩C（），則對于z∈D有公式：

證明：假設極點t=z在域D外部，則正則區域上的Cauchy-Pampeiu公式成立，推論顯然成立。

若t=z在域D內部，則上面命題的證明過程仍然成立，命題得證。

3 結束語

本文證明了雙周期復平面上的Cauchy-Pampeiu公式的形式，并得到一個簡單的推論，這給我們研究偏微分方程的雙周期解提供了有力的工具，下一步的工作將是討論雙周期平面上的邊值問題。

[1]HUA L K，LIN W，WU C Q.Second Order System of Partial Differential Equations in the Plane [M].London：Pitman，1985.

[2]ABDYMANAPOV S A，BEGEHR H，TUNGATAROV A B.Some Schwarz problems in a quarter plane [J].Eurasian Math，2005（3）：22-35.

[3]WANG Y.Boundary value problems in a fan-shaped domain[J].Adv Pure Appl Math，2011（2）：193-212.

[4]路見可.解析函數邊值問題[M].2版.武漢：武漢大學出版社，2004.

[5]BEGEHR H，VAIEKHOVICH T.Harmonic boundary value problems in half disc and half ring[J].Functioneset Approximatio，2009，40（2）：251-282.