因小識大
——“用好，用足，用活”一道題

◆李莉

(浙江省安吉縣豐食溪中學)

因小識大
——“用好，用足，用活”一道題

◆李莉

(浙江省安吉縣豐食溪中學)

經常聽到有老師抱怨:“與這道題一模一樣的類型我讓學生做過好幾遍了，可這次考試還是有那么多學生做不出。”原因在哪?有很多方面，但其中有一點可能容易忽視，那就是在學生解題和老師分析時，往往就題論題。不注意知識之間的融會貫通，學生不會觸類旁通。這就需要老師們平時多思考一下，善于“借題發揮”，把一道有較強代表性和典型性的問題用好、用足、用活。讓學生們通過一道題的掌握，能解一類題，使知識網絡化。整合思維模式，走出題海戰術，真正做到輕負高質。

一、原題展示

如圖，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且 AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC。請說明理由。

分析:此題是一道基礎題，很容易發現已具備證全等的兩個條件:①∠B=∠D，②AP=PC，還缺一個條件需進一步挖掘，由AP⊥PC能想到最后一個條件，應找∠APB=∠C或∠A=∠CPD。此題的圖形就是常說的“三垂直圖”的特殊情況，它作為一個基本圖形，絕大多數學生應該對它十分熟悉，而且會應用它的結論解決其他問題。

二、特殊圖形應用

應用1:變身展示。如圖，Rt△APC中，∠APC =90°，AP=PC，過點P任作一直線l，過點A作AB⊥直線l于B，過點C作CD⊥直線l于D。求證:△ABP≌△PDC(或求證:BD=AB+CD)。

分析:此題嚴格說來與原題并無二樣，但區別在于條件給出的方式不一樣，特別是過點P任作一直線l，讓很多學生頓感難度加大，感覺不易把握這個“任”字。其實這里的“任”字也是受限的，因為在“如圖”兩字前提下，△APC應是位于直線l同側。通過本題的“變身”，讓學生認識到很多題的本質一樣，只不過有時它們會穿上不同的外衣。

應用2:課后思考:若讓直線l繞點P轉動起來，其他條件不變，是否始終有△ABP≌△PDC?

分析:設計本題作為課后思考題，主要原因有二:其一，是上題的直線l并沒有達到任意性，讓人意猶未盡;其二，是若△APC不位于直線l的同側，則圖形就不是原題的“模型”，不利于加強“建模”，分散了注意力，但課后若能再做一下拓展，就能達到把課堂效益放大的作用。

三、題目從特殊到一般

若把條件AP=PC拿掉，則結論△ABP≌△PDC可變為△ABP∽△PDC，組成新題如下:

如圖:AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，AP⊥PC，則△ABP∽△PDC。請說明理由。

分析:原題的圖形嚴格來說是三垂直圖形的特殊情況，因為除了三垂直之外，還多了一個條件AP=PC，若拿掉這個條件，才是一般的三垂直圖。那么原題的結論△ABP≌△PDC也相應變成一般的結論△ABP∽△PDC，從特殊到一般是研究問題的常用方法，通過本題可讓學生了解到科學地研究

問題一個好方法，而不是單純地讓學生成為解題的機器。

四、一般基本圖形的應用

應用1:函數問題:如圖，AQ⊥MQ，NM⊥MQ，Q、M分別為垂足，點P是線段MQ上(不包括端點)的動點，連接PA，過點P做直線BP，使BP⊥PA，交射線MN于點B，連接AB，已知AQ=1，MQ=2并設PQ=x，用S表示四邊形MQAB的面積。

(1)求S關于x的函數表達式與自變量x的取值范圍;

(2)當x為何值時，S的值最大?此時四邊形MQAB是哪一種特殊四邊形?S的最大值是多少?

分析:本例是為了加強基本圖形的應用而設置的，應通過本題讓學生學會從復雜背景下識別出基本圖形，應用一般結論發現解決實際問題的突破口。本題若馬上想到△BMP∽△PQA，就簡單了。由BM∶PQ=MP∶再應用二次函數相關知識得解。

應用2:折疊問題:如圖，折疊矩形ABCD的一邊CD，使點D落在AB邊的點E處，CF為折痕。

(1)△BCE與△AEF有什么關系?

(2)求矩形ABCD的周長。

分析:本題可設EA=3x，FA=4x，則EF=5x，BC=9x，利用基本圖形的相似關系，很容易求得BE=12x，在Rt△BCE中，(9x)2+(12x)2=(52

應用3:變式拓展改為選擇題:如圖:AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一動點(不包括端點)，AB=4，CD=6，BD=14。若連結AP，CP所得的兩個三角形相似，則BP的長為( )

A.2 B.5.6

C.12 D.上述各值都可能

分析:通過本題讓學生認識到，同樣的題目可由不同的題型出現，作為選擇題，本題的得分率明顯高多了，可用的方法也不只是從正面求解，也可代入檢驗得出。