變起點GM（1，1）馬爾可夫鏈模型在我國農村人均純收入預測中的應用

陳友余

（湖南財政經濟學院 工商管理系，湖南 長沙410205）

變起點GM（1，1）馬爾可夫鏈模型在我國農村人均純收入預測中的應用

陳友余

（湖南財政經濟學院 工商管理系，湖南 長沙410205）

以擴展我國農村人均純收入預測方法和提高預測精度為目標，采用變起點模型對傳統GM（1，1）模型進行改進，通過建立一個預測模型群，從中挑選精度最高、擬合程度最好的模型作為后續的預測模型，通過實際應用的確提高了預測精度和擬合程度；然后在此基礎上對后續的預測模型的殘差進行分類，計算轉移概率矩陣，從而得出由區間和概率組成的預測范圍，較大的增強了預測的可操作性和可信性。

GM（1，1）；變起點GM（1，1）；馬爾科夫鏈；農村人均純收入

一、引言

農業是國民經濟基礎，農民問題是“三農”工作的重心。農村人均純收入呈現持續增長的同時，城鄉收入差距較大,影響和制約農民收入增長的因素仍然存在。基于此，本文依據2000～2010年農村人均純收入數據，運用改進的灰色馬爾科夫鏈模型對我國農村人均純收入進行預測。

灰色系統理論是鄧聚龍教授首次提出的，解決了學術界一直無人解決的微積分方程建模問題。其研究對象是“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息的不確定性系統，具有建模過程簡單，建模表達式簡潔等優點，被廣泛應用于經濟、生物、農業、醫藥、水利等領域，但其模型有一定的缺陷，不少學者對其進行了一定程度的改進，殘差GM（1，1）模型在實際應用廣泛。本文在傳統GM（1，1）模型的基礎上采用變起點方法進行改進，建立了一個預測群，從預測群中挑選最優的模型用于預測，這種方法一方面提高了預測精度和擬合程度，一方面增強了預測的可操作性和實用性。

二、變起點GM（1，1）模型

在實際預測建模中，不一定用原始序列中全部的數據來建模。在原始序列中有規律挑選一部分數據（數據至少為4個），就可建立一個模型。為了提高傳統GM（1，1）模型的預測精度和擬合程度，建模數據中應為包含x（0）在內的一個等時距序列，基于這種思想，以x（0）為建模取值的終點，從后往前不斷取值，可以建立一個預測模型群，從預測模型群中挑選最優的模型用于以后的預測，其建模和求解如下：

（1）給定原始時間序列x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中n為原始數據個數；

（2）用x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））建立的GM（1，1）模型為全部數據模型；用 x（0）=（x（0）（i），x（0）（i+1），…，x（0）（n））（i叟2）建立的GM（1，1）模型為部分數據模型；

（3）由于最短時間序列中數據至少為4個，于是可建立一個4維子序列：（x（0）（n-3），x（0）（n-2），x（0）（n-1），x（0）（n）），依次往下，最后可建立一個n維子序列（即原時間序列），總共可建立n-3個子序列；

（4）對各子序列按傳統GM（1，1）模型方法進行預測，并進行精度檢驗和擬合度檢驗，從模型群中挑選最優的模型應用于預測。

三、馬爾可夫鏈模型

從變起點GM（1，1）模型得到的預測結果，可通過馬爾可夫鏈方法對殘差進行分類，精確估計每類情況可能出現的概率，得出由區間和概率組成的預測范圍，從而較大的增強了預測的可操作性，更有利于保證預測的可信性。

（一）馬爾可夫鏈與K步轉移概率矩陣定義

設隨機過程{x（i），i∈I}的狀態空間S為R中的可列集，對應I中任意參數i1＜i2＜i3，以及使P{x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}＞0成立的S中的任意狀態 m1，m2，…，mn，均有P{x（in）=mn｜x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}=P{x（in）=mn｜x（in-1）= mn-1}，則稱{x（i），i∈I}為馬爾可夫鏈，并記：I，j∈S，表示在時刻m系統處于狀態i條件下，在時刻m+k系統處于狀態j的概率，將依次排序，可得m×n階轉移概率矩陣：，該矩陣稱為馬爾可夫鏈的K步轉移概率矩陣，其中P（k）ij叟0

（二）劃分狀態，計算轉移概率

劃分狀態是將數據數列劃分成若干個大致均等的區間范圍，其中任一狀態區間Ei=[E1i，E2i]，其中i=1，2，…，n，式中E1i，E2i為狀態邊界。如果數據序列由狀態Ei轉移到狀態Ej的次數共為mij次，狀態Ei出現的次數共為mi次，則可計算出此時的轉移概率

（三）根據轉移概率矩陣進行預測

根據狀態Ei，利用狀態轉移概率矩陣，估計未來轉向狀態Ej的可能性，即若目前預測對象處于狀態就描述了目前狀態Ei在未來轉向狀態Ej的可能性，按最大概率原則，選擇Pij中最大者對應的狀態為預測結果，即當Max={Pi1，Pi2，…，Pin}=Pij（i=1，2，…，n）時，可以預測下一步系統將轉向狀態Ej。或是若知道該時間所處的狀態向量為A（t）=（a1（t），a2（t），…，ai（t）），則時刻A（t+m）=A（t+m-1），根據A（t+m）可以為預測者提供預測依據。當比較復雜或是要求精確結果時我們往往選用后一種計算方式。

四、灰色馬爾科夫鏈模型在我國農村人均純收入預測中的應用

21世紀開局以來，我國農村人均純收入見下表，數據均來至于《全國國民經濟和社會發展統計公報》。

表1 ：我國2000～2010年農村人均純收入（單位：元）

（一）變起點GM（1，1）模型

由于n=11，首先可建立8個子序列；然后對各子序列按傳統GM（1，1）模型方法進行預測，得各模型對應的離散響應函數，計算平均相對誤差、后驗差比值和小誤差頻率，計算結果均見表2；最后對各子模型進行精度比較和擬合程度比較，選擇8維子序列作為預測模型。

（二）改進的灰色馬爾科夫鏈模型

首先，將8維子序列的殘差劃分為5種狀態：狀態1：呈明顯高估狀態，即差額與實際值的比例低于-5%；狀態2：呈高估狀態，即差額與實際值的比例在-5%到-2%之間；狀態3：較為準確，即差額與實際值的比例的絕對值在2%以內；狀態4：呈低估狀態，即差額與實際值的比例在2%到5%之間；狀態5：呈明顯低估狀態，即差額與實際值的比例超過5%。

其次，計算我國農村人均純收入年狀態表，得到轉移概率矩陣。由于狀態1與狀態5沒有出現，可將55階轉移概率矩陣簡化為33階轉移概率矩陣，得最后，根據轉移概率矩陣求出相應的狀態向量，并進行預測，從而得到由區間和概率組成的預測范圍。

五、結論

本文采用變起點對傳統GM（1，1）模型進行改進，建立一個預測模型群，從預測模型群中結合精度要求和擬合程度要求挑選了最優的8維子序列作為后續的預測模型，然后在此基礎上將8維子序列的殘差分為了5類，計算了相應的轉移概率矩陣，從而得到由區間和概率組成的預測范圍。這種方法既提高了預測精度和擬合程度，又增強了預測的可操作性和實用性。

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